本帖最后由 19871001 于 2024-2-29 22:46 编辑
作者简介： 尹充——数学独立老师。 原上市机构学科带头人。 任教十四年，其中独立老师十余年。 对5年级--高3课内课外数学学习有经验和见解。
强调：本文谈论的是初中数学，同样观点不可迁移到小学和高中来理解，同样也不迁移到英语、理化等其他学科来理解。
【写这篇文章的初衷】 整理此系列文章，主要是分享自身经验，希望帮助到需要的家长和朋友。整理的同时也可梳理自身思路。 转载自本人公众号，有兴趣的话可进入本人千帆主页查阅具体公号名称。
一、6-8年级和9年级大方向上的分别
6-8年级眼光要“长”一点。 这个阶段主要强调“深耕”，这个阶段没有中考压力，在知识点覆盖不能仅仅满足课本，要适当拔高但不刻意追快追难，这阶段能力的培养对高中数学是至关重要的。 这个阶段有能力的同学，先要求深，进度不要过快。 求深是因为中考不是数学学习的终点，高中数学的压力从来都不小，存在大量初中不教、高中不教但高中解题常用的数学内容。“韦达定理”便是例子之一。这方面不但取决于孩子习惯，一定程度也依赖于初中这几年的耕耘。 不推崇过快赶进度，因为“深”和“快”是无法兼得的。适当比学校快2个月以内是比较理想的。大幅抢跑只可能在还存留小学数学思维的六年级是有优势的，一旦进入几何和函数，没有基础储备会对产生理解不了、厌学等很多负作用。以民办为例，曾经的张江、华育、上宝等一线民办，没有一所是忽略深度而赶进度的教学方式，这些学校由于孩子们小学功底好，6上很多内容小学已经比较扎实，因此6上进度较快，6上结束时会比普通公办快一个月进度，但到初三的时候，比公办进度依然领先一个月，可见一流一线民办进度平稳，致力于深挖。另外，在新环境下自招名额可能会缩减过半，本就不提倡的赶进度现在愈发没必要。
9年级眼光要“短”一点。 九年级的学习我的建议是以一模、二模和中考为导向，只需要考虑实用，真题是最好的资料。暂时不要去想高中需要什么，9年级数学知识中除了二次函数外，其余内容高中数学几乎用不上。9年级数学侧重点是平面几何，五大章节分别是相似三角形、锐角三角比、二次函数、圆、统计，平面几何是初中数学压轴题的拉分点，一模75%左右是相似三角形和锐角三角比。而高中数学几乎没有平面几何。
这阶段知识点不要盲目去拓展，要以升学为方向，压轴题就够很多尖子生反复操练了。每年一模、二模、中考的范围和题型变化是非常小的。中考冲高分是这阶段的第一要务，前提是熟练，会的少出错。这里多提一句，这一点跟高三有很大区别，高三是很多题一般同学真的不会，而初三题很多是会，但不够熟练。
有意向往自招方向发展的同学也是建议9年级阶段在数学课内已经比较有把握的情况下适当少花一些精力。具体可看另一篇教辅推荐长文这方面的建议。
二、6-9年级不同阶段数学特点
六年级——初中数学的过渡和铺垫阶段 【不要短视，要考虑长远】 1、不要觉得小学接触过，盲目比学校进度快半年甚至一年去刷题。抢跑带来的收益远不如小学阶段，这点优势可以说是极其短期的，通常会在7年级下学期就被终结。甚至对绝大部分孩子来说，长期看带来的伤害大于收益。除非是百里挑一甚至千里挑一的少数牛娃。 2、不要觉得孩子分数还能接受，六年级完全没有真正拉开差距，会存在大量同分不同能力的情况，此时的懈怠，会在后期暴露问题，预防问题或许比等问题来了解决问题更稳妥，否则解决问题会付出更大的代价。
【六年级数学特点】 六年级，数学还处在跟小学过渡的衔接阶段，六年级的数学体系侧重于具体数字的运算。其实这一块很多小学接触过课外培训的孩子都是接触过的，小学课内和课外只是接触过6年级的粗线条甚至皮毛。因此不要轻易在六上去课外补七年级数学内容，如果真的有把握觉得自家娃六年级真的没问题了可先课外把数学停掉。 同届资质全浦东100名以内的孩子或许可以尝试一下超快的进度。
【六年级数学值得拔高的章节】 六年级值得多关注一些的拔高知识模块是：分数、有理数（绝对值是重点），方程和不等式。 六年级更需要关注的是：引导孩子不要浮躁，尽量阳光些。培养好的学习心态、学习习惯。适当重视运算能力。
【六年级重视计算和习惯】 重视计算，计算不是那种看似迷人的拔高题，但计算在六年级阶段作为高年级的核心功底地位是十分重要的。后面不论是延伸到方程、几何计算、函数计算，如果计算基本功不扎实，上限不会高。 从初中起养成一些习惯，比如： （1）错题及时纠错，并巩固吃透。 （2）先完成学校作业和适当课外练习，再娱乐休闲。 （3）先复习知识点和公式再做练习，这仅仅是个细节但对部分孩子提高能力是很有效的。 好的习惯会让学习长期收益。这方面很难一蹴而就但不可不重视，家长可以适当花时间介入和引导并督促，仅仅当成任务口头布置给孩子往往作用不大。
【六年级选教辅的导向】 六年级选教辅的核心在于习惯和学习意识的培养，有意识的选择初中的开头让孩子接受这个习惯，一定比学到八九年级孩子觉得数学吃力了再想起让孩子刷教辅更容易接 受。不论从心态，精力，还是习惯方面考虑，六上起步都是最佳的切入时间点。
六年级数学比起高年级肯定是相对好理解的，而且此时还不用学习物理化学。选一本教辅是有必要的，对于小学还没有这方面习惯的同学来说，刚开始刷教辅一定不要太难，这将会让孩子更容易接受这项新的任务。对于小学功底习惯好的孩子来说，也只是建议刷一本稍稍拔高的就好，六年级的数学拔高更多是一种思维锻炼，哪怕是笃定以自招为目标的家长，本质上六年级只需要注意分数、有理数、方程三个章节的拓展就行，其余章节基本拓展再深一般也不会出现在自招卷上，更不必担心中考考到六年级的难点。 但同时提醒，少数家长考虑到6年级压力小空余时间多，在6年级阶段课外刷大量教辅，多的甚至会有4-5本。这方面是不推荐的，个人感觉1-2本能满足绝大部分同学需求，2-3本为上限。6年级数学对整个初中的影响是有的，但也是有限的。不值得投入过多的时间和精力，精力有余的家长不妨这个阶段多考虑其他学科。
【对孩子定位】 1、对孩子的定位不要盲目自信，不要把进步当成理所应当和大概率事件。 从整体来说，所有进步孩子进步的总名次永远等于所有退步孩子退步的总名次。6-7年级都还是孩子们寻找定位的阶段，尤其分数接近的公办学校。六年级的孩子还不容易落在整个初中的真实定位上，这方面可多听听一些有经验老师说真话的建议。 2、不要急于在这个阶段给孩子准确定位，这个阶段数学分数存在大量同分不同能，而且这个阶段的数学排名不如7、8、9年级更有参考价值。由于分数上还没有真正拉开差距，不要把孩子之前发挥最高的一次排名当成给孩子的新标准，直到他真的能稳定在这个位置。
【关注孩子心理】 关注孩子心理，力所能及的话多跟孩子交流，要逐渐把孩子当成大孩子去尊重，强势压迫和过于啰嗦会让孩子产生焦虑情绪，也不利于阳光开朗的性格养成，这阶段的孩子开始敏感，及时发现抵触和逆反心理，对学业发展也是有利的。但也不是完全不给孩子压力，而应该引导去以良好的心态迎接初中学习。
七年级——初中数学新体系构建阶段 习惯和资质好的孩子可以开始发力了 【七年级数学特点】 从知识结构上说，将七年级当成初中数学的真正起始也是有一定道理的。六年级的数学基本是单一知识点直来直去的理解，运算方面也是具体的数字运算。七年级开始数学逐步抽象化，由数过渡到字母、公式，抽象化的公式又可套用在相同结构的所不同题型中。这个变化在这个时间衔接点上非常明显。七上数学第一章是“整式”（以因式分解为核心之一），代数体系从这里开始从数字主导转化为字母主导，而数学公式的呈现最终都是抽象成字母的形式呈现的，因此对字母的理解尤其关键。
从这里开始不同孩子在吸收新知识和做题速度上明显的差异。再稍稍拔高一步，数学从这一章开始了“多种公式灵活套用”“换元”、“构造”甚至还有诸多公办不要求、民办学的很多、中考不考、高中又有可能用得上的补充知识点。有的时候，不要在低年级的时候去区分中考要求和自招要求。其实因式分解在上海中考中仅仅考察一个最最简单的送分填空题，但没有学校会因为中考只考送分而不重视因式分解。 这阶段需要以培养孩子的学习习惯、心态、尤其是数学能力为导向。这时候逃避的一些拓展内容可能会成为高中学习路上的坑。
整式之后，还会有几个七年级标志性章节：坐标系、全等三角形。分别延伸出函数、几何推理等之前基本从未接触过的知识体系。很多低年级习惯数学抢跑的孩子建立起的一点优势可能也会倒在这里，总之七年级数学重要性明显大于六年级数学，分化也由此萌芽。
【七年级数学值得拔高的章节】 七年级值得多关注一些的拔高知识模块是：整式（重点）、分式、全等三角形（重点）。 其中全等三角形并非需要以难题拔高为导向、而是要侧重于多见一些类型，几何跟代数有很大不同就是题目变数更大，消化知识点后也需要更多经验积累。
【七年级数学刷题方向】 七年级刷题主要方向是：以数学能力为主要方向，有能力拔高的孩子可以多关注重点章节（具体参考上段）的拔高了。尤其这是最后一年只需要应付语数外三科的阶段。
【七年级新挑战——几何】 重点强调一下，七年级学到全等三角形、等腰三角形的时候，会有一个阶段练习题花的时间明显增加，一个题目想二三十分钟都没有思路。这个时候家长往往焦虑，感觉孩子以前从没遇到过这个现象，以为是孩子大幅度退步了或者是概念不懂。当然，不排除是习惯不好基本定理和性质没消化，但其实很大程度是因为几何入门比较慢，需要一个过程，练习稍难一点或者题型和辅助线没见过，卡壳是正常。这个起步阶段建议不要死磕，耽误了效率也影响了心态。几何起步阶段参考一下答案思路，看懂了再自己从头写过程是很好的方法，这个阶段见的类型多了才会有经验，学几何经验往往很重要。 因此个人推荐，在7下全等三角形同步阶段或者利用7升8暑假时期，可以尽量完成《一课一练》（普通版）或《新思路辅导与训练》（第二版）几何关键起步阶段的相应练习。具体如下： 1、《一课一练》7年级下82-119页、8年级上77-96页。 2、《新思路辅导与训练》7年级下119-159页，8年级上112-144页。 其中，8上部分也是全等三角形为主，只是补充了少量常用辅助线。另外，《新思路辅导与训练》几何答案不如《一课一练》详细，对学生要求也更高一些。 八年级——新体系的深入阶段 初中数学程度的分化阶段 【八年级数学特点】 如果说七年级是转型，那么八年级则是深入阶段。二次根式、一元二次方程、正反比例函数、几何证明，一次函数、代数方程、四边形、概率初步。可以说八年级的前7个章节都是相应体系内的重点。这7个章节可以分为三个体系： （1）代数体系：二次根式、一元二次方程、代数方程 （2）几何体系：几何证明、四边形 （3）函数体系：正反比例函数、一次函数
这些章节都是需要静下心好好学的，不再是小奥那一套掌握一点皮毛和两三个公式就能刷一大片题目的。这些知识点也是相比于6、7年级更建议比学校稍稍领先一点进度提前预习一遍再通过一定量题目巩固消化。如果这些知识模块还能通过提前一年课外补补课就能吃透的，那我不得不说的确是真牛娃了。尤其是函数和几何，包括函数几何的结合以及加上一两个动点的问题。
【几何为何难学?】 几何学习中，因为题目长、融合的知识点多、思考时间长、求解过程不易，需要耐心和专注度，在代数题中一个题目需要20-30分几乎是没有的，但几何题中很常见，这时候心浮气躁肯定是不行的。另外，几何题很难讲全所有类型，需要举一反三，课后摸索，这时候主动性就非常重要。
小学课内的知识面不多的，主要就是数的运算，难题就是各类应用题了，不管是哪一种，本质是求解是多少，很多时候只是算对算错的问题，或者审题不理解的问题，很多时候不用去深入思考，也是可以高质量完成练习的。但到了这个阶段会有很大不同，大量题型不深入思考是很难得出答案的，这也是为何前面我反复提到学习习惯、心态。这个阶段很多问题本就不是一次就能弄懂的，好比动点压轴题就是通过反复操练逐渐培养起这类分析问题能力的。前面提到数学在七年级开始抽象，由数转移到字母是一个抽象的过程，到八年级会有一个进一步抽象的过程，这个过程的突出问题是什么时候存在解，以及本问题存在几个解。这些新问题都是新机遇，也是新挑战。
【八年级的重新洗牌】 由于种种变化，这个阶段有些以前的班上的尖子生也会暂时掉队。如果第一学期掉队了，只要孩子自身学习意识和资质不错，辅以老师的带领，还是很有机会在第二学期重新拔尖的。如果是第一第二学期都掉队较远，那只能建议先将目标暂定在跟上，初三重新逆袭希望已经渺茫了，这也是与初二初三的知识结构特点和难点有关系的。
到了这个阶段，由于学科增多，章节变难，一般孩子富余出来的刷题时间会变少，但其实这里刷题的必要性又大于6、7年级。代数方面有时还能用仅有的几个公式灵活套用，几何方面则不仅仅是有知识点和几个例题就足够的，很多时候决定能否解决几何题的往往是经验方面的积累。
另外，八年级的动点压轴题起步阶段会出现七年级几何起步阶段类似的情况，而且持续的时间可能更长。
【八年级数学值得拔高的章节】 八年级值得多关注一些的拔高知识模块是：函数综合、一元二次方程综合应用、几何证明和四边形。 另外以四校自招为目标的同学需要多关注：代数方程。
【八年级数学刷题方向】 八年级刷题主要方向是：在有限时间里继续以能力培养为导向，夯实基础前提下该拔高的继续拔高。另外，程度好、想初三冲满分的可以适当开始重视动点几何综合题了（俗称“几何压轴题”）。
九年级——几何和函数体系的深耕阶段 【初三数学特点】 初三70%以上的内容都是几何，一模、二模、中考最重要的拉分题也出在几何上。但这不等同于在整个数学体系中，几何就有这么重要。只是刚好在初三迎来了爆发期，这个时期过后的高中数学里几何并不算重要体系。尤其初中的几何主要是几何说理或者数字推理类的平面几何，这与高中几何也有较大区别。所以这就是为什么初三学习对一模、二模、中考很重要，但对高中数学的影响可能反而不如7、8年级扎实的数学功底来得重要。 初三的数学章节分别是：相似三角形、锐角三角比、二次函数、圆和正多边形、统计初步。 除去最后一章在二模和中考中仅仅考察1-2个不会难的小题外，其余章节都是二模和中考重点和难点。 这里提一下，一模数学仅仅考察前三章（部分区考察圆的部分内容，不包括浦东）。二模和中考数学考察6-9年级全部内容，但对于尖子生来说的拉分题主要集中在九年级学的内容里。
【初高中数学体系的关联】 在初中数学的多个分支中，简单分类可以分为代数、几何、函数三个体系。其实之间的差异大到可以按照不同学科来看待，比如是8年级以前代数好的孩子几何不一定好，函数也一样。这也是8年级洗牌的原因之一。
这里多提几句，由于我多年从小学四年级到高三全部开班，因此对各阶段知识构架有自身的理解。虽然九年级里课本可能是7分几何3分函数，甚至有没纯代数的章节，但并不代表从此几何就比代数更重要。前面提到九年级是初中这类平面几何的爆发期，也可以说基本是初高中阶段的终结期。
代数体系的延伸在高中还有集合、不等式、数列、矩阵和行列式、复数、排列组合等重要章节，甚至还有三角比、平面向量这类看似是几何其实本质其实更侧重于公式套用、变形、运算这类代数体系本质的重要章节。 函数体系的延伸在高中还有函数性质、幂指对函数、三角函数、直线、圆锥曲线等重要章节。 纯几何在高中仅仅有立体几何、多面体两个模块，而且这两个模块也不全是以初中这类说理和推理为主导。 了解这些是为了明白不必以初三程度作为判断高中数学学习的唯一依据，也可以让几何模块稍稍偏弱的孩子少几分焦虑。这里并不是指高考完全不涉及初中几何，只是用得很少。
【选准方向】 正因上段原因，我也一直提倡到了初三，数学学习就一心一意的先以一模为导向，一模考好了才有自招的门票甚至推优。中考的重难点也是初三这些内容。6-8年级不好好加深，到了这个阶段反而转方向与抓中考完全不涉及的自招题型很可能有点本末倒置，也势必会影响大考成绩。
【三大考命题特点】 一模、二模、中考数学的命题难度大致是按8:1:1的比重。难度的两极分化比较严重，基础题要少失误，压轴题要多得分。 前面提到6-8年级我是不提倡超前过多学的，尤其不提倡用高等数学方法解决低等数学问题。因为学习有些问题的过程并不是为了解决这个问题，而是用相应体系内应用的方法来培养相应的数学能力。一般我觉得进度比民办快1-2周、比公办快一个多月就刚好了。
但9年级的这个观点得再次特殊理解一下。九年级的重心是升学，能力培养此时暂时退而求其次。我一直会提前交给小朋友几个固定好用的高中公式和数学模型，在解决很多几何压轴题时能非常快得出答案，不少孩子都觉得好理解也好用。其实这样对于能力培养不一定是好事，但到了初三，务实和适应大考还是更要紧的，阶段不同手段也不同。
【证明题解答瓶颈】 九年级学到相似证明题阶段，刚学的时候会有个过程做题速度慢，遇题卡壳，这都是正常现象。理解稍慢的孩子同样可先模仿答案自己写过程，不必死磕。家长也不要胡乱焦虑而徒增压力。
【九年级数学重点章节】 九年级数学重点章节是：除了统计初步之外的全部。优中选优就选相似和圆。
【九年级数学刷题方向】 九年级刷题主要方向是：一模真题卷、二模真题卷、中考真题卷。九年级最好的刷题资料只有真题卷，这方面淘宝上有大量卖真题的，教辅推荐板块也会补充介绍。 少数尖子生想冲四校和顶尖八大自招的可以在一模后的寒假里适当刷一些相应级别目标学校的往年自招真题，同一级别学校的风格和难度大体相当的。这方面真题很难搜集，可以咨询这方面有经验的老师，我这里每年都会收集一批自招真题。
三、最后
初中阶段是孩子学习生活的重要阶段，不同于小学依赖家长督促、不同于高中叛逆情绪频发，这时候是孩子的学习习惯和思维方式形成的重要塑造期，也是为高中数学打基础的关键阶段。 与此同时，从小学数学一步出答案的简单计算，到初中逐渐形成抽象思维，这需要专注度和主动性，有耐心看完题干、理出解题头绪，克服难题没思路的烦躁情绪，建立健康的心态，都是除了学习本身之外重要的功课。
其中的成长，需要家长的耐心、智慧和时间去浇灌。
最后，今年的分享暂时告一段落了，马上要迎接繁忙的暑假。期待明年整理新的内容同各位分享，再次祝小朋友们成长顺利，大家生活幸福。
往期选载
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发表于 2020-6-8 12:38
发表于 2020-6-8 13:30
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