关于提前学的历史渊源和理论探讨

Coco99

今天看的专栏文章片段，大家怎么看

乖墩檬乖

简单来说：
几何中的单纯靠平面、空间透视、想象能力的方法，这些属于能力plus范围，不属于中高考的考试范围，也不属于当代数学发展的趋势。这一点，我赞同乒乓的观点。从孩子应试应赛升学角度，单纯欧式几何不可或缺，但是代数体系确实比单纯几何方法重要得多。

说到提前学，我倒是觉得乒乓的观点可能还是更多关注在应试应赛上，效果应该会比较明显的，只是操作不好可能会像楼主所说略轻了单纯几何的领域。

我会给娃选择性地提前学，从出发点上可能和乒乓不同。我是打心底里觉得目前小学教材的编排体系并非完美，我没有去追溯这样的编排逻辑到底源自哪里？上世纪欧洲西欧？或者是前苏联？但是毫无疑问，和其他学科比起来，目前国内从小学到高中的数学教材编排显然是知识点布局的逻辑性最差的。现在的数学课本，好像盖楼房，不是打完地基、建好整个承重结构框架、再做具体楼层和单元的内饰，而是东边打一部分地基，盖上2层楼，做20%内饰，再跑到西边打一部分地基，盖上3层楼，做个18%的内饰。这样拼拼凑凑出来，孩子对数学完全没有一个整体的认识，自己学的知识到底处于整个体系的哪一部分？对未来要学的其他知识有什么作用？

所以，我会选择性地提前部分内容和补充部分内容给孩子讲解，就是希望他建立相对比较有逻辑的初等-中等数学体系概念。补充的内容诸如：数制的发展和实际应用，数域的概念，四则运算在实数域内的通用性，点、线、面、体和其之间的联系以及初步的维度知识，简单逻辑（命题、逆命题、否命题、逆否命题等）。提前的内容比如多位数的加减。目前娃二年级第一学期，学校刚教了乘法表和简单除法。自家的进度，接下来就是在多位数加减法夯实基础的前提下，引导他自己逐步推导多位数乘法。等到学校教有余数的除法后，立刻引入乘除法竖式、因数、倍数、质数、合数和同余方面的知识。

机构里的专题性的教学，说实话我觉得套路太明显了，很多时候，仅仅是教孩子用某个方法，却不解释为什么可以用这个方法。当然，可能是这样好教，应为有些问题确实不容易教，甚至大学本科非理科出来的学生，都未必明白内中原理，懂了原理，孩子也未必能听懂老师的解释。有些原理大人看都吃力，别说推导了，更何况是孩子。所以对于机构的教学，有能力的家长一定要从旁修正！避免孩子出现看到题目就套规律，而不细究原因、过程的坏习惯。套路可以了解、可以拿来用，但是一定要知道背后的逻辑，即使现在限于知识、能力无法理解，也要知道逻辑是存在的，在心里埋下一颗种子，等到能力够的时候回过头来反思！

10月初在给孩子挑着讲了“一笔画”的问题。我明确告诉他，爸爸小时候从来没有试图总结这个题目的规律，我这次花了2个小时自己推导出了欧拉环的规律，又花了半个小时仔细看了相关教材的证明。你现在能根据"一进一出"很简单地理解一笔画的图形一定是具备0或2个奇数点的连通图形。但是反过来，关于“具备0或2个奇数点的连通图形一定可以一笔画出”是不是能够成立，我会尽可能用你能够理解的方式解释给你，你听不懂也没有关系，可以先记住它是已经被证明的。但是无论你能否听懂反过来的解释，要务必记住，反过来不一定是可以的，除非能够证明它！比如说：一个小朋友是其爸爸的儿子——>这个小朋友是其爸爸的孩子。反过来呢？一个小朋友是其爸爸的孩子——>这个小朋友是其爸爸的儿子？反过来逆命题不一定成立！否命题类似以上例子。那么，如果一个小朋友不是一个成年男子的孩子，那这个小朋友一定不是这个成年男子的儿子，这句话对么？这就是逆否命题了。所以，我告诉孩子，等过一阵，等你的理解能力再成长一点，我再给你解释一遍。

举个国内教材我觉得比较不错的部分，其实是高中的物理。在经典物理学方面的大体的知识体系演进逻辑非常清楚，从生活现象到原理探究，从具象到抽象。

第一步：从日常生活的可见可触的物体，讨论可见可及的运动、速度，再向宏观方向引申出可体会不可见触的力，牛顿三定律、加速度，再到抽象的能量及转化（间杂一些内能之类的相关且杂的问题，一些特殊情况比如气压、钟摆等，还有宇宙中的引力常数等，都可以藉此进一步推导出）
第二步：从生活常见的电、磁各自的现象开始，进一步讨论电磁现象及其理论、应用。
结合第一步、第二部，就是物理高考里面的大题目了。
至于光学、原子能等，从来就不是高中物理的重点，只是象征性地教一点，为了以后大学专攻物理做准备的。

Manddy

墩爸爸爸 发表于 2017-10-30 20:40
简单来说：
几何中的单纯靠平面、空间透视、想象能力的方法，这些属于能力plus范围，不属于中高考的考试范 ...

小学教材体系一直是学欧美的，只不过是直接学还是间接学。早先直接学苏联，但苏联又是学欧美，也就是我们小时候学的那套内容，逻辑主线非常清晰：整数和分数的四则运算。2001年后新课纲是直接学欧美，正如你所说，东一榔头西一棒槌，每学年什么都讲一点，但什么都没深入，想深入得再等一年，中小学校数教材都有这个问题，2004年姜伯驹院士公开批判过这件事

Liumangtu

乒呤乓啷气 发表于 2017-10-30 18:56
平面几何在训练系统思维推导严密的方面是个很好的工具，但是客观来说，它是2000多年前的数学研究成果，近代 ...

虽然乒乓情商略感人，但是系统学的思路我还是认可的，就目前看过的低年级机构教程而言，章节内容碎片化重复化很高，浪费大量时间。常有人说低年级不应该引入方程，会僵化思维，我倒不这么认为，只要能接受越早引入越好，别说是只要填答案的小奥了，就算是初联高联只要你能解出题来就是好猫，用什么方法who cares!

乖墩檬乖

Liumangtu 发表于 2017-10-30 22:03
虽然乒乓情商略感人，但是系统学的思路我还是认可的，就目前看过的低年级机构教程而言，章节内容碎片化重 ...

方程要早教，这个我有保留地同意，不是为了早而早，要根据每个孩子的独有进度决定。我更加倾向于根据孩子的学习进度来定——当他/她已经能够用现有的思维逻辑解决基础问题，但不足以解决他学习进度中出现的复杂问题时，就顺水推舟地让方程出现吧。

公木山

一楼引文的逻辑有点混乱
教材体系和奥数体系其实没啥关系的。就算一个高中生，一个大学生，可以被一道小学奥数题难倒。这种新闻并不少，某名校XX被小学X年级题目难倒，质疑奥数之类的。
所以提前学并不解决奥数的问题。

糊涂爸爸

爸爸专场，搬把椅子坐着听

josh

我的数学知识早就忘光了，方程到底是怎么定义的，有啥玄奥，以致于不能提前学。方程最基础思维不就是假设嘛，孩子们应该在生活中到处都已经接触到假设了吧，应该比学奥数课本中很很多更加抽像的方法容易的多吧，而且有很多其它方法也都是以假设为前提进行的推演的。

陪伴成长

墩爸爸爸 发表于 2017-10-30 20:40
简单来说：
几何中的单纯靠平面、空间透视、想象能力的方法，这些属于能力plus范围，不属于中高考的考试范 ...

一直在思考现行数学教材中缺失的部分，以下这一段非常好。

“我会选择性地提前部分内容和补充部分内容给孩子讲解，就是希望他建立相对比较有逻辑的初等-中等数学体系概念。补充的内容诸如：数制的发展和实际应用，数域的概念，四则运算在实数域内的通用性，点、线、面、体和其之间的联系以及初步的维度知识，简单逻辑（命题、逆命题、否命题、逆否命题等）。”

关于数学教材，我提点个人看法。

应该说，我们的中小学数学教材，并不是培养数学家的教材，而只是普及基础数学教育的教材。所以必然会在深度和广度上做一些平衡。而作为普及类教材，广度和深度同样重要。
另外，由于是普及类教材，所以势必需要考虑到普通小朋友的接受能力。一次性贯通一个知识点，可能并不是大多数小朋友都能接受的方式。

所以，我觉得把知识点分拆到各个年级，然后每一年级学习每一年级需要掌握的知识点，也是一种合适的教材组织方式。事实上，这样的教材组织方式已经是欧美教材体系的主流方式，且并不仅仅应用于数学教材。

我觉得我们数学教材的主要问题，其实是缺乏系统性。知识点拆分之后，缺乏贯穿的主线，所以造成知识的碎片化。

关于物理教材，我提供一点信息。

我其实很多年都没有看过国内的物理教材了，所以关于国内物理教材我没有资格评价。
不过就我所知，目前国内高中的物理教材和欧美主流的物理教材重合度非常低。我曾经翻看过国外高中物理教材的目录，我觉得这和我们那个年代学习的物理，已经完全不是同一个体系了。所以，对于有兴趣的家庭，我建议可以对比一下两个体系。

仅供讨论！

陪伴成长

墩爸爸爸 发表于 2017-10-30 22:27
方程要早教，这个我有保留地同意，不是为了早而早，要根据每个孩子的独有进度决定。我更加倾向于根据孩子 ...

关于方程，我觉得其实可以分成两个部分来看：用代数思想来建立数学模型，列方程和解方程。

我觉得早一点教会小朋友使用代数思想建立数学模型，是非常有必要的。事实上，很多小奥套路里面假设的“1份”，其实完全可以用代数更好地表达。机构完全是为了不用方程而不用方程。

至于列方程和解方程，我觉得只是一个工具问题。在使用代数思想建立数学二模型之后，通过哪一种方式去解决问题，这个可以完全由小朋友根据自身情况决定，并没有一定的高下之分。

仅供讨论！

陪伴成长

满爸 发表于 2017-10-30 21:05
小学教材体系一直是学欧美的，只不过是直接学还是间接学。早先直接学苏联，但苏联又是学欧美，也就是我们 ...

这其实是因为我们还学得不够多。

美国的数学教育广泛使用 Gifted 教育，所以有数学天赋的小朋友，理论上数学可以一直跳级到和其能力对应的年级为止。在这样的体制下，其实不会出现你所提出的问题。

另外，我觉得小朋友多学点应用型的数学知识，其实也没有什么不好。只是我们的小朋友不像欧美小朋友那样有很多应用的机会。我们的小朋友应用数学做多的地方，其实是刷题。

仅供讨论！

Manddy

陪伴成长 发表于 2017-10-31 09:06
这其实是因为我们还学得不够多。

美国的数学教育广泛使用 Gifted 教育，所以有数学天赋的小朋友，理 ...

对有天赋的学生来说，天才教育的机制很好，中国应该学习，而不是把有天赋的孩子往奥数独木桥上赶。但是天才教育只适用于少数学生，美国参与天才教育项目的学生比例和我们常说的适合学奥数的比例差不多。除此之外，美国中小学数学教育的平均水平是很糟糕的，有技术原因也有政治原因。

数学知识的应用当然该学，只是放什么地方学的问题。推荐单樽教授的文章《数学课应当讲数学》。物化生地甚至历史课都可以应用数学知识，但是数学课还是应当多讲数学

公木山

满爸 发表于 2017-10-31 09:51
对有天赋的学生来说，天才教育的机制很好，中国应该学习，而不是把有天赋的孩子往奥数独木桥上赶。但是天 ...

不是把有天赋的孩子往奥数独木桥上赶
这个是。
多元化高级课程应该是。上海马上要开AP课程了。
应该是一种好的尝试

公木山

请老大把某些人回我的帖子也删除。不想和这种人有联系

Coco99

陪伴成长 发表于 2017-10-31 08:56
关于方程，我觉得其实可以分成两个部分来看：用代数思想来建立数学模型，列方程和解方程。

我觉得早一 ...

谢谢提供思路！所以中国的数学基础教育虽然以知识点掌握牢固见称于世界，但系统性数理思维确有不足，也许这就是中国高等教育出产高端科学家反而不如美国多的原因。开端用力很猛，终端成效很低。美国也奥，也支持高智商儿童提前学，也许我们可以从美国新加坡中小学数学体系中去寻找提前学的系统规划，选择合适的方法用到自家身上去^_^

whitestone_wu

公木山 发表于 2017-10-30 22:35
一楼引文的逻辑有点混乱
教材体系和奥数体系其实没啥关系的。就算一个高中生，一个大学生，可以被一道小学 ...

引文有可能不全。
一开始是说多元解题思路和通吃型的标准化解题思路的优劣问题。后面突然跳到了奥数和应试教育问题。两个问题有一点关联，但是很难说可以直接联系起来。
所谓标准化解题思路，其实只是一种强大的解题工具而已，工具好用，那么就用得范围更广，适用性更强。不等于你就不能用其他的方法。在解题时用啥方法，跟个人的特质更有关系，而不是说因为教了某种方法，导致其他方法不会用了。

陪伴成长

满爸 发表于 2017-10-31 09:51
对有天赋的学生来说，天才教育的机制很好，中国应该学习，而不是把有天赋的孩子往奥数独木桥上赶。但是天 ...

谢谢偶像回复和推荐。目前还在看偶像上次推荐的书单。

同意偶像的看法，中美的教育体制，各自有各自的问题。美国学生的数学分化比中国更加严重。其实其他学科也是这样，或者说整个社会都是这样。

中国的奥数是一个竞争问题。

我们小时候，学校也是选拔有潜力的小朋友去学习奥数，没有被选上都不会去争取。因为那个时候竞争并没有今天这么激烈，奥数的选拔作用没有完全显示出来。

但是到了今天的上海（特别是上海），小学奥数 所需要承担的责任，已经不仅仅是 数学 了。而且，除非能够找到其他替代 小学奥数 的东西，否则 小学奥数 的火只能越烧越烈。而我能想到的其他东西，在公平性上可能还不如 小学奥数。

此外，我并不看好在中国推行 Gifted 教育体系。在中国现有的教育体系下，这种体系一定会走歪的，最终的结果可能还不如现在这种看起来相对低效但基本保证公平的教育体制。虽然也不觉得好，但现在这种 “学校+机构+家庭” 三位一体的体制，我觉得是适合中国目前的教育体系的。

面对小学奥数，只能一声叹息。。。

上海-老刘

没有什么知识的碎片化，是理解力的碎片化。教材的碎片化使得学习更加不易。
回过头来说教材，以前的教材分甲种本和乙种本，现在的初中物理教材最多乙种本水平。化学，地质，天文就是物理，教材编来编去这个问题都说不清楚。高中数学不教微积分是不对的，而且还不讲黎曼几何。
应该承认现实，普遍提供类似乙种本水平教材。甲种本或更深更广的教材应该允许被学校自由使用。小学开始就应该分层。

卡卡_666

陪伴成长 发表于 2017-10-31 10:48
谢谢偶像回复和推荐。目前还在看偶像上次推荐的书单。

同意偶像的看法，中美的教育体制，各自有各自 ...

“中国推行 Gifted 教育体系” 一定是为了TZ阶级服务的，不可能是考虑民众的，这个系统其实就在学习国外的教育分层体系，就是从教育资源上就已经给后代们分层了。

英才教育或者说特长教育需要什么？钱和资源，普通百姓能有多少钱和资源？更何况说你有没有天才、你行或不行的通行证就在TZ阶级的手里，更多的优质教育资源都会被TZ阶级的后代享用。所以后面必定是底层民众的孩子早早适应底层岗位，中产阶级的孩子进入技术性的岗位，TZ阶级的孩子们处于食物链的顶端。

最终实现“老鼠生的儿子会打洞”这一太平盛世。也可能老鼠的生育能力最后都没用了，因为没配偶，人工智能必然会淘汰很多的岗位。。。

圆圆圈圈

话说引文说的小学学制有失偏颇。选择54而不是63，是因为那几年人口爆炸了，小学塞不下了，中学却还有空间的权宜之计。

公木山

乒呤乓啷气 发表于 2017-10-31 07:54
小学奥数有些就不是数学的内容，比如某些绞尽脑汁也找不出规律的找规律题。这些问题如果大学生做不出很正 ...

请不要再回我的帖子，我不希望和你这种人有啥联系。
请自重

公木山

卡卡_666 发表于 2017-10-31 11:06
“中国推行 Gifted 教育体系” 一定是为了TZ阶级服务的，不可能是考虑民众的，这个系统其实就在学习国外 ...

有一个励志电影，为人师表Stand and Deliver
讲的就是美帝体系下的AP。
但是据说后续并不完美，后面就没这样的奇迹了。

公木山

圆圆圈圈 发表于 2017-10-31 12:24
话说引文说的小学学制有失偏颇。选择54而不是63，是因为那几年人口爆炸了，小学塞不下了，中学却还有空间的 ...

老老早早还有大五班小五班。当然这不是现在的小五班。某年在切换5 6 的时候出现的

公木山

whitestone_wu 发表于 2017-10-31 10:40
引文有可能不全。
一开始是说多元解题思路和通吃型的标准化解题思路的优劣问题。后面突然跳到了奥数和应 ...

其实数学本身也分啊。当年希尔伯特和克莱因在哥廷根数学时，在方向上就有不同。
同时数学作为工具和研究对象差别还是有很大差别的。

whitestone_wu

公木山 发表于 2017-10-31 14:08
其实数学本身也分啊。当年希尔伯特和克莱因在哥廷根数学时，在方向上就有不同。
同时数学作为工具和研究 ...

希尔伯特研究的东西涉及到了数学的元问题，跟基础教育要不要教更有适用性的数学工具不是一回事。

公木山

whitestone_wu 发表于 2017-10-31 14:30
希尔伯特研究的东西涉及到了数学的元问题，跟基础教育要不要教更有适用性的数学工具不是一回事。

所以教育本身就是分层、分类的。
无视目的和差别的教育，本身就不是好的。
奥数本意也是发掘GIFTED的数学爱好者，被用错了对象。

阳光明媚哦

文科生完全看不懂了

乖墩檬乖

网上搜了一下楼主的原文出处，发现几篇（有些不同，可能是转载时有删减）。
其中有一段话深得我心：
在方法与个案、一般与特例、普遍与异象之间，中国的数学传统有一个趋向，即侧重于后者。比如你发现勾三股四弦五是一组勾股数，你还可以找到勾五股十二弦十三也是一组勾股数。你还能发现杨辉三角这样的特例。但是我们没有把这些系统化地表达为毕达哥拉斯定理、二项式定理这样的抽象和一般理论。

我家娃现在二年级，我们是2016年9月零基础进公办小学的，第一学期的任务是追赶进度（同年级的同学有些从中班开始学数学了），第二学期的任务是稳定基础（一定量的练习）。现在是第三个学期，正在开始逐步加速赶超（补充和拓展）。

说一个亲身经历：

记得在一年级第二学期刚开学，我打开孩子的数学课本（就是校数教材），有一道题目的橡皮擦拭痕迹吸引了我的注意。
题目简述如下：一个三角形，三条边的外侧各标注了一个数字，分别是7、8、9。题意大致是说：三个角分别代表一个数字，任意2个角所代表的数字之和即为此两角所夹的边上的数字。问每个角上代表的是什么数字？

我问儿子：你做错了？
儿子：是的，不过我订正了。老师教了我们一个小诀窍。
我：能介绍给我学习一下么？什么样的小诀窍？
儿子：老师说，如果遇到这样的题目，三个数字是连续的，而且中间的数字是一个双数，那么，中间数字（双数）所对应的那个角代表的数字，就是这个双数的一半。
我：哦，这样啊，挺有趣的（心中一千万只草泥马奔腾而过）。我可能会想到一些其他的方法，晚上我和妈妈讨论一下，明天和你说说好么？
儿子：好的。

晚上，我和老婆讨论了一下这个题目。先介绍一下背景：我和老婆是校友，我是上海这边普小-渣初-区重点提高班-高考高分进985MIS专业，从小没奖，没人辅导，因为小初老师渣（当时上海中考数学满分120分，我们初中数学老师自己只能做100分出头的水平），万事只能靠自己钻研。我老婆是北方某省会城市牛小-金刚牛初竞赛班-金刚牛高竞赛班，一路省级、全国级别竞赛一二等奖无数，保送进的985专业任选。

我的想法是学校老师这么教是不负责任，误人子弟！
我的思路是：
1、这其实是最基础的三元一次方程题目，三元一次方程是普适性最高的解题方法。但是考虑到孩子当时才一年级，未做任何提前或补充学习，所以暂时不能这么讲。
2，用三元一次方程思路的变形方式，a+b=7，a+c=9，所以，c比a大2，c+a=8，依靠孩子的数感（穷举），可得结果。还可以进一步对2的过程后半部分进行优化，a+c=8，c-a=2，可利用两式的加减消元，得出结果。
3、将三边加总，即为a、b、c都加了2次，得24。所以a+b+c=12。可得结果。

我老婆的思路抱歉我解释不来，反正是什么“找（借）1法”，“和的一半+差的一半”之类的，一听就是数学竞赛的各种特种解法。

最后，经过争论，我们决定给孩子讲解方法2和方法3，理由就是：这是通用性最高的解法，而非只能在特殊情况下才能使用的特种解法。老师介绍的方法，只适用于三边数字为等差数列的情况（完全不考虑非等差的情况），还加了所谓“中间数为双数”的限制（为了保证结果是整数）。

事后，我和我老婆讨论了两人不同思路的来由，觉得数学在初期阶段作为一门系统性的、重逻辑、循规律的学科，学习的重点和乐趣，应当是：看到问题-发现规律（试证假设）-探寻原理-理解规律（证明）-应用规律。如果只是看到问题-套用规律，而不追寻背后的原理逻辑，那么就是白学了，学死了。

公木山

墩爸爸爸 发表于 2017-10-31 17:34
网上搜了一下楼主的原文出处，发现几篇（有些不同，可能是转载时有删减）。
其中有一段话深得我心：
在方 ...

一个想法是，教小盆友还是要用小盆友的想法去思考和学习。

amandag

墩爸爸爸 发表于 2017-10-30 20:40
简单来说：
几何中的单纯靠平面、空间透视、想象能力的方法，这些属于能力plus范围，不属于中高考的考试范 ...

说的很好，受教了

amandag

墩爸爸爸 发表于 2017-10-31 17:34
网上搜了一下楼主的原文出处，发现几篇（有些不同，可能是转载时有删减）。
其中有一段话深得我心：
在方 ...

我终于知道为什么儿子经常一做这种题目就画个三角形了，原来学校里教了这么扯淡的方法

springhappy

公木山 发表于 2017-10-31 20:00
一个想法是，教小盆友还是要用小盆友的想法去思考和学习。

我也是这么想的。
虽然说，你用什么方法，who care。
但我想说，我儿子用什么方法，至少他爸他妈还是很care的。

不排除很多以升学竞赛为目的的学习，确实不关心过程。
但我觉得，过程才真的培养孩子。
所能得到的能力也许才能受用终生。

Sxybxjxy

公木山 发表于 2017-10-31 19:00
一个想法是，教小盆友还是要用小盆友的想法去思考和学习。

很赞成层主的建议

不要用高阶的方法去解低幼题目，没什么好傲娇的。有些枚举看似“笨”办法，就是培养小朋友数感和严谨的。什么年龄做什么事！

能和孩子解释清楚，套路背后隐藏着的推导过程和思路，才是厉害的老师和家长……

Sxybxjxy

乒呤乓啷气 发表于 2017-11-1 08:56
谢谢你的赞同，我一直就是讲原理，讲推导的。昨天还同儿子交流了如何证明三角形的内心外心垂心重心是三线 ...

哎呀，你看，我就知道你会跳出来，要怎么赞美你才好呢！
我们千帆的“大”数学家，你们全家都是牛人，开心了伐……

一声叹息啊。

ningyuanshuwu

陪伴成长 发表于 2017-10-31 10:48
谢谢偶像回复和推荐。目前还在看偶像上次推荐的书单。

同意偶像的看法，中美的教育体制，各自有各自 ...

抓住层主，满爸的书单在哪个帖子里，我当时也想记录来着，一转身，帖子不见了

陪伴成长

ningyuanshuwu 发表于 2017-11-1 09:16
抓住层主，满爸的书单在哪个帖子里，我当时也想记录来着，一转身，帖子不见了

这个，不是应该直接抓 @满爸 吗？

原贴可能帖不了，你可以去找找 @满爸 的原贴。

我做一次小秘书，书单和说明在这里：

最后安利几本我读过的书，作者都是数学家出身，希望给正在与小奥缠斗的家长带来一点不同的思路（除最后一本，网上均有电子版）

《天才引导的历程》：作为一本数学科普书，跟上面吐槽过的《数学家开的店》形成鲜明对比，对数学史上一些重要定理的来龙去脉讲得非常清楚，真正告诉你这个定理为什么重要。

《作为教育任务的数学》 核心观点：数学教育要引导学生“再创造、再发现”重要的数学规律，并不断提升抽象层次。经典名言：中小学数学教师在上大学的时候忘了中学数学，大学毕业去当中小学老师又把大学数学忘了。前半部分讲理念可精读；后半部分讲具体数学课题的教学思路，观点很高，应该超出了绝大多数家长的数学知识储备。此书在国内教育界名气貌似颇大，但我觉得只是叶公好龙，没看出数学课本从人家那里学到了什么。

《数学家讲解小学数学》 此书是给美国小学教师的培训讲义，用统一且比较严格的方式给出数的定义、四则运算算法、运算率。对家长来说，这本书的可操作性比上一本强多了。中文版书名有一点误导，因为书中内容只有数——自然数、整数、正分数、有理数，而且也不全是小学的内容（有理数）。作者伍鸿熙是Berkeley的华裔数学家，原先是很出色的数学家，他早年的那本研究生教材《黎曼几何入门》的序言也非常值得一读。后来他的兴趣转移到基础数学教育。

《一个数学家的叹息》核心观点：数学是一门优美的艺术，发现模式并给出简单明了的解释。现在的中小学数学教育打着要让数学有用的旗号，灌输了很多对多数学生来说一辈子都用不到的数学知识，毁了学生对数学的兴趣。作者原先在大学任教，后来关心起基础教育，跑到一所中学当老师。

《度量：一首写给数学的情歌》 和上本书是同一作者。本书也是科普书，告诉你数学家怎么看待几何、运动和时空方面的问题，强调“数学是一门艺术”的观点。


然后，是我补充的数学书单：

什么是数学
数学：它的内容，方法和意义
古今数学思想
数学大师:从芝诺到庞加莱


再然后，是 @满爸 在这个帖子推荐的书：

数学知识的应用当然该学，只是放什么地方学的问题。推荐单樽教授的文章《数学课应当讲数学》。物化生地甚至历史课都可以应用数学知识，但是数学课还是应当多讲数学

最后，记得给 @满爸 加分哈！

whitestone_wu

墩爸爸爸 发表于 2017-10-31 17:34
网上搜了一下楼主的原文出处，发现几篇（有些不同，可能是转载时有删减）。
其中有一段话深得我心：
在方 ...

那个数学老师确实不太负责任。如果他要这么教，也至少要把这个方法证明一遍。
这题我的第一感，就是三边数字相加除以2，是12。
然后每条边都有一个共角，两条边有共角的话，那么另外的两个角的差，就是这两条边的差。而三条边是连续数字（相差1），那么也就说明三个角也是连续数字。
因此可以知道某个角是12/3=4，另外两个角分别加1和减1，也就是3和5。
从上面思路可以看出，最关键的在于第二步。这一步最好是让孩子自己悟出来，让他自己用穷举法去尝试也可以。总之一定要理解到两条边有共角的话，那么另外的两个角的差，就是这两条边的差。

公木山

starsun 发表于 2017-11-1 08:45
很赞成层主的建议

不要用高阶的方法去解低幼题目，没什么好傲娇的。有些枚举看似“笨”办法，就是培 ...

有时候知道道理，但是选择不去讲清楚，其实不是笨，可能是智慧。

认清小盆友的认知和学习能力范围，而不是一味的提前学，好像把一个问题说清楚说透了，其实并不符合小盆友的认知规律

admin

墩爸爸爸 发表于 2017-10-31 17:34
网上搜了一下楼主的原文出处，发现几篇（有些不同，可能是转载时有删减）。
其中有一段话深得我心：
在方 ...

在方法与个案、一般与特例、普遍与异象之间，中国的数学传统有一个趋向，即侧重于后者。比如你发现勾三股四弦五是一组勾股数，你还可以找到勾五股十二弦十三也是一组勾股数。你还能发现杨辉三角这样的特例。但是我们没有把这些系统化地表达为毕达哥拉斯定理、二项式定理这样的抽象和一般理论。

作为门外汉，我转达一个我研究生时候数学老师的观点，供各位参考。他说数学简单地被分为计算和证明两个类别。中国古人（包括现代人）特别擅长计算。而西方人擅长证明。但是现代数学有点小趋势，就是可能要从证明到计算了。具体搞不懂，这是原话。
我听到另外一个会下围棋的同事讲，他说古人的围棋中盘对杀特别厉害，计算功底极其强劲。但是他们的开盘官子不好，下围棋不一定下得过现在的牛人。但是中盘对局有几盘最厉害的古人的对杀能力相当于现在的十三段（不知道怎么算出来的）

admin

starsun 发表于 2017-11-1 08:45
很赞成层主的建议

不要用高阶的方法去解低幼题目，没什么好傲娇的。有些枚举看似“笨”办法，就是培 ...

是的，我比较反感所谓的提前学。提前学本身没什么，但是提前学用高阶的办法解决低阶的问题，就会导致直接的后果--不能用高阶问题解决的时候就傻眼了。就像年龄问题刚学的时候有些“聪明”的家长都是让孩子列方程，等到突然有一天遇到了一题没法列方程的年龄问题（某一年小机灵杯决赛最后一题），就傻眼了

whitestone_wu

qianfan 发表于 2017-11-1 10:08
作为门外汉，我转达一个我研究生时候数学老师的观点，供各位参考。他说数学简单地被分为计算和证明两个 ...

中国和西方比较的，有一本书叫《什么是科学》吴国盛写的，很推荐。
柏拉图可以说是所有西方思想的滥觞，他提出的理念论，实际上是追求事物的本质（或者说共相）。比如说你家的猫跟我家的猫不同，但是它们为什么都是猫，因为所有的猫都符合猫的本质属性，也就是共相。西方基本都沿着他这条路径在走。
对于证明和计算，我个人看法，计算是很难代际传承的，就好像你围棋计算力强，但是你徒弟不一定学得会，但是如果你总结出规律，得出一个定式，而且能用理论方法讲清楚传给徒弟（日本的道策是第一个可以把围棋为什么这样下而不能这样下，提炼出完整理论的），那么徒弟起跑线就领先了，他可以在此基础上研究更多的规律。

Sxybxjxy

公木山 发表于 2017-11-1 10:01
有时候知道道理，但是选择不去讲清楚，其实不是笨，可能是智慧。

认清小盆友的认知和学习能力范围，而 ...

同感

作为家长，自己也是在失败中，不断领悟学习……

说的再多，讲的再漂亮，分析再透彻，都不如小朋友自己努力千方百计做出来……

我爸爸就批评过我，保姆式喂养教育，要做到拎好重点，少说多做……

公木山

springhappy 发表于 2017-11-1 08:05
我也是这么想的。
虽然说，你用什么方法，who care。
但我想说，我儿子用什么方法，至少他爸他妈还是很ca ...

但是对于一个非职业的数学老师，这种转变非常难。

经历了无数的刷题过程，慢慢认清了小盆友的思考境界，学会了忘记自己所学，重新开始

公木山

whitestone_wu 发表于 2017-11-1 10:20
中国和西方比较的，有一本书叫《什么是科学》吴国盛写的，很推荐。
柏拉图可以说是所有西方思想的滥觞 ...

追求事物的共相
数学里面用一个词，抽象

陪伴成长

公木山 发表于 2017-11-1 10:01
有时候知道道理，但是选择不去讲清楚，其实不是笨，可能是智慧。

认清小盆友的认知和学习能力范围，而 ...

我觉得这个还是需要根据小朋友的情况来定。

我觉得一个道理，或者想办法讲清楚（可能不是一次），或者暂时不讲其实都可以。但是讲就应该讲正确的，尽量不要讲错误的，特别是不要讲无聊的套路。

仅供参考！

amandag

qianfan 发表于 2017-11-1 10:10
是的，我比较反感所谓的提前学。提前学本身没什么，但是提前学用高阶的办法解决低阶的问题，就会导致直接 ...

大多数家长让孩子小奥的目的是为了小升初（就是这么功利），如果孩子能理解列方程解方程的思路，并且方程能解决大部分竞赛的应用题，那学方程对普娃提高考试成绩肯定是利大于弊的。学了方程可能让不入围的普娃入围了，能入围普娃的爬进了三等奖。至于您提到的最后一题这种特例那本来就是牛蛙去拼思路的，普娃没学方程应该也是傻眼的。

springhappy

qianfan 发表于 2017-11-1 11:08
作为门外汉，我转达一个我研究生时候数学老师的观点，供各位参考。他说数学简单地被分为计算和证明两个 ...

老大，这么难，表示看不懂啊。
在千帆真心是分分钟被秒的体无完肤啊。

springhappy

starsun 发表于 2017-11-1 11:21
同感

作为家长，自己也是在失败中，不断领悟学习……

其实反观我们自己的求学之路。
那些在初高中，被家长干涉过多的孩子，即使上了好的大学，后面的人生路走的精彩的不是很多。

我们身边就有，三张奔四张的年纪，居然只能靠刷大学本科的出身和当年的高考成绩，来安慰自己的。
但，当年同学时候，以及后来大学，真的是被秒。

乖墩檬乖

公木山 发表于 2017-11-1 10:01
有时候知道道理，但是选择不去讲清楚，其实不是笨，可能是智慧。

认清小盆友的认知和学习能力范围，而 ...

“不能一味”是这句话的关键。
小盆友的个体情况不同，在相同年龄（月龄）时的认知能力也各个发育不同。
关键是通过长期追踪，抓住单个个体的特点，根据实际需要调整（或不调整）。
如果小盆友课内知识都吃不透，当然不能随便提前，除非到了小升初关键时刻前磨磨枪，那也只是为了应试的权宜之计。
如果小盆友明显表现出课内知识吃不饱的状态，那么根据他的接受能力，适度地、慢慢地调整补充或者提前的内容，也是很好的。
所以我其实不太喜欢送孩子去培训班，老师的水平暂且不说，但是就对于学生的了解，肯定不会清楚每一个学生的状态（会有大致的了解，但是不能做到细致了解），所以上大课的结果就是效率不高，因为不是针对性的。不过为了可能的SMK，最终可能还是免不了这个流程。叹气！

公木山

墩爸爸爸 发表于 2017-11-1 13:13
“不能一味”是这句话的关键。
小盆友的个体情况不同，在相同年龄（月龄）时的认知能力也各个发育不同。 ...

学习是一个闭环。
听课、到课后练习、到学习效果的评估、到评估之后的反馈。
整个LOOP里面，上大课只是第一个环节（其实前面还有计划部分，比如去哪里上学，学啥，这就不考虑了）
而后面的部分，对于大部分的家长是没有可作为的地方，因为无能为力。