再说方程和算术：一道5升6的行程问题的简洁解法，基础是什么

公木山

一个方程和奥数关系里的跟帖，单独拿出来请早学方程和算术大神试试。

一艘船顺流而下，从甲到乙再回到甲，一共用12小时。已知第一个4小时比第二个4小时多行了48千米，第一个6小时比第二个6小时多行80千米，那么甲乙相距多少千米

我想是无论哪种方法，做的好都是前面的分析做的好。算式或者方程易懂，而结果也很简洁，美在其中矣。

令狐777

看不懂，难道不是匀速的？

公木山

少用方程的意思是锻炼小孩能在脑子里更清楚的把形成的过程展现出来，就是当你能把行程的具体细节想清楚之后，那后面其实具体用什么方法，你就算是用列方程的方法也不排斥。但是学太早，学方程之后呢就会变成脑子里完全没有概念。
转帖一段超级牛蛙他爸的对话。

方程只是手段，学习的过程是分析过程，寻求不同形态治下的关系和结构。

kathic

不管是方程还是算术方法，背后都需要缜密的分析能力，抛开这个谈方法，流于工具之论。你一个问题分析不清楚，用什么工具都是白搭，反之，什么工具都可以。小低年级就开始方程，用代数方法刻意回避分析细节，不知道用什么方式来补充这个分析能力。

hearts

令狐777 发表于 2017-8-9 11:37
看不懂，难道不是匀速的？

我的理解是应该有隐藏条件，就是甲到乙匀速，某个速度。乙到甲匀速，因为逆流，速度会慢一些。

公木山

kathic 发表于 2017-8-9 12:05
不管是方程还是算术方法，背后都需要缜密的分析能力，抛开这个谈方法，流于工具之论。你一个问题分析不清楚 ...

是啊，把分析问题变成一个计算问题。
这个和学习的初衷是不相符合的

糖糖家的小喵喵

水流速度  顺流逆流差了两个水流速度

令狐777

hearts 发表于 2017-8-9 12:08
我的理解是应该有隐藏条件，就是甲到乙匀速，某个速度。乙到甲匀速，因为逆流，速度会慢一些。

甲到乙再回甲就对了，我记得原来看到的时候只写了“甲到乙”

donghairen

~~~~~~~~~~~~~~~~~`

donghairen

顺流速度=船的静流速度+水流速度
逆流速度=船的静流速度-水流速度
船的静流速度=（顺流速度+逆流速度）/2
水流速度=（顺流速度-逆流速度）/2

Manddy

单程（甲到乙或乙到甲）是否是匀速运动？

西瓜嘿嘿

我就会方程了阿
假设顺流而下的时间为t 水流速度为X

X*t=80
[4-(t-4)]*x=48
x=16km/小时
t=3小时
船速为32km/h
距离为144km

令狐777

条件都够了吗？我先画一个特解吧，假设第一个4小时刚好到乙。

西瓜嘿嘿

X*t=80
[4-(t-4)]*x=48
x=16km/小时
t=5小时
船速为96km/h(静)
距离为560km

令狐777

以上图形满足题目中的所有条件，但如果顺流不是4小时到乙，目测答案会不一样，因此我觉得缺少条件

西瓜嘿嘿

令狐777 发表于 2017-8-9 13:23
条件都够了吗？我先画一个特解吧，假设第一个4小时刚好到乙。

怎么可能4小时到达乙

令狐777

西瓜嘿嘿 发表于 2017-8-9 13:28
怎么可能4小时到达乙

怎么不可能？

西瓜嘿嘿

令狐777 发表于 2017-8-9 13:30
怎么不可能？

我没法编辑了，不过我做错了

条件够多了能够算出几小时到乙地

令狐777

西瓜嘿嘿 发表于 2017-8-9 13:32
我没法编辑了，不过我做错了

条件够多了能够算出几小时到乙地

那你说说我这个特解和题目的条件哪里矛盾了？

西瓜嘿嘿

令狐777 发表于 2017-8-9 13:33
那你说说我这个特解和题目的条件哪里矛盾了？

112/4=28km/h
112/8=16km/h
所以你认为静水速度为22 水速6
6小时前4小时开了4*28=112 后面2小时 2*16=32 总共144
6小时后面6*16=96
144-96不等于80

carrincha

我怎么觉得用方程分分钟的事情。距离280公里，船速48公里每小时，水速8公里每小时，顺流5小就时，逆流7小时。前6小时航行320公里，后6小时航行240公里。第一个4小时航行224公里，第二个4小时航行176公里。

hearts

其实这些题实在是套路。。是不是小朋友们看到这种题就要想到水流速度了啊。。

我解了一下，不假设水流速度。。只假设去匀速回来也匀速但速度不同（并不一定是加减水流速度的关系，因为题目实在看不出这个水流速度假设。匀速假设是没办法，不假设就没法解了），也是能解出同样答案的。。就是方程涉及到二次函数了，虽然最后能约掉。

公木山

嗯，方程有意思，算术也有意思。

期待各路大神继续关注。

光讲简单的，也请讲个过程，列个式子，让大家也学习学习

公木山

西瓜嘿嘿 发表于 2017-8-9 13:20
我就会方程了阿
假设顺流而下的时间为t 水流速度为X

还是西瓜大大牛气啊。一眼看到症结。
这题真还不是列不列方程，而是分析问题。而我觉得学数学应该就是学这个吧，而不是学套路。

hearts

算术法就是理解方程的含义吧。。

（1）假设水流v0，船速v，去时t，回来12-t

(v+v0)*t + (v-v0)*(6-t) - (v-v0)*6 = 80 => v0*t = 40
(v+v0)*4 - (v+v0)*(t-4) - (v-v0)*(8-t) = 48 => 8*v0-v0*t = 24

和西瓜一样了，v0=8, t=5, 只是他的方程不好懂。直接原式列出来很容易。

(2) 不假设水速度，假设去时速度v1, 回来时速度v2。

因为头6小时和后6小时差80km，说明头6小时走了整个路程，然后返回40km。所以甲乙距离为 6*v2 + 40 （尽量减少变量），目前仅有2个变量 v1,v2

返回40km用时 40/v2 小时，可以设为t （后面可以约掉，也可以直接40/v2，写起来麻烦）。

用v1算距离是 v1*(6-t), 所以第一个方程

v1*(6-t)=v2*6+40

第二个方程，48km这个条件，因为总共用了8小时，比6小时的返程40km的位置，还要再返程2小时。

所以，

4*v1 - ( 2*v2 + 40 + (4 -  t - 2)*v1) = 48

t消掉，可得v1=v2+16

最后带入总时间12小时，

(6*v2+40)/v1 + (6*v2+40)/v2=12

可解得v2=40, v1=56 (唯一解)

hynzxd

这个题型很典型的，记得有套路。

iEVER

简单的啊，t为顺水时间，v为双水速

（8-t）v= 48
t v=80

t=5, v=16，  则水速=8
S=280

瑶瑶爸爸

设全程长度x
逆流速度为 (x-40)/6
顺流速度为(x*x-40x)/(6x-480)
情况下一：顺流情况大于4小时
第一个4小时航行距离为(2x^2-80x)/(3x-240)
第二个4小时航行距离为(2x^2-80x)/(3x-240)-48
第三个4小时航行距离为(2x-80)/3
由于12小时航行距离为2x
则x=280

情况二：顺流情况小于4小时
第一个4小时航行距离为(x-40)/6+48
后面8小时航行：(8x-320)/6
12小时航行2x
x=-24不符合题意

公木山

二元一次或者二元二次方程好像是标配？
5升6还是不好懂的。
期待更好的，能期待一元一次的方程吗？其实这已经就是算术解法了。

有金牌班、超常班的小盆友吗？他们的解法估计比我们高明。

公木山

满爸 发表于 2017-8-9 13:14
单程（甲到乙或乙到甲）是否是匀速运动？

假设船静止和水流速度一样吧。5年级的题，估计只能这样假设了。

iEVER

楼主，请评价一下27的楼的方法

公木山

iEVER 发表于 2017-8-9 16:28
楼主，请评价一下27的楼的方法

二元二次方程。
对哇

iEVER

公木山 发表于 2017-8-9 16:30
二元二次方程。
对哇

不要害怕啊，仔细看一看，不是二元二次

simplyer

都是方程的，哪位大牛来个算式的

瑶瑶爸爸

我这方法算到后面是1元1次，不过还是27楼的简单

公木山

iEVER 发表于 2017-8-9 16:33
不要害怕啊，仔细看一看，不是二元二次

列出的方程就是二元二次。

公木山

虽然我自己也有一个算术。
我也有一个一元一次方程的解法。

但是还是坐等好办法。

我的理解是，如果根据题意列出的方程是几元几次的，那就是几元几次的解法。和后面的计算其实是无关的。
因为解方程最后都是要到一元一次的。

iEVER

公木山 发表于 2017-8-9 16:35
列出的方程就是二元二次。

让我看看，啊，真是闹。 这个不难解啊。5、6不会这个，不应该啊。

carrincha

iEVER 发表于 2017-8-9 16:10
简单的啊，t为顺水时间，v为双水速

（8-t）v= 48

这个方法可以。

huangchen

算式是要分步的
先算水速：(80+48)/(8*2)=8
然后算顺水到乙要多少小时：80/(2*8)=5
最后算甲到乙的距离：(40+8+8)*5=280

hearts

carrincha 发表于 2017-8-9 17:36
这个方法可以。

我就想问，都说这方法简单，我怎么看不懂，为什么tv就80了，不列个式子简化一下，怎么就直接看出来tv=80，(8-t)v=48了？

iEVER

hearts 发表于 2017-8-9 17:56
我就想问，都说这方法简单，我怎么看不懂，为什么tv就80了，不列个式子简化一下，怎么就直接看出来tv=80 ...

顺水时间大于4小时，这个容易想通的。

如果跟小朋友解释，就这样说：

方便理解，假设一下，如果顺水时间是5，逆水时间是3，那么5小时里最后的2小时都是顺水行船，在比较第一个4小时和第二个4小时的时候，里面都有1个小时是顺水的，这两个距离是一样的，不用比较，要比较的是剩下的那2个反向的3小时，这个时间等同于逆水回程那段比较短的时间。

同理，在12小时的时候，要比较的是那段短的顺水时间。

那么我假设那顺水时间就是t，就有：

（8-t）v=48
  tv=80

公木山

看了回答，有点意思。
其实道理都明白了，套路整出来的是一个二元二次方程组（这应该是标准的说法），如果t是顺水的时间。其实关系就是
8-t这些时间产生了48的差距，
t产生了80的差距
就是一个简单的比例关系。方程思维和算术思维在这里有差异了。

例题只是说明思维的差异。诸位家长都能知道二元二次方程组和算术之间的差距，无需我多言。而这题的分析才是主要的。

公木山

解释一下。忽略细节，只讲重点。
8-t这些时间产生了48的差距，
t产生了80的差距

第一个4小时是顺流的，第二个4小时部分是顺流，部分是逆流，那么逆流的时间是8-t，那么产生了48的差距
第一个6小时，t是顺流的，6-t是逆流；第二个6小时都是逆流，那么逆流的时间差就是t，这样产生了80的差距
二个有一个比例关系。
然后一个一元一次方程搞定。

公木山

算术方法其实类似
第一个4小时截去和第二个4小时一样长的顺水距离，同样办法应用于6小时。
可以得到的顺水全程比是48/80.

公木山

这个讨论还真不错。
其实分析都可以很好，但是所谓最后一哆嗦，临门一脚，方程僵化了人的思维，从一个一元一次方程，变成了二元二次方程组。

我们成人比较难意识到这种束缚和僵化的，而在小盆友身上不希望看到那么多的。
就像前面讲的，方程只是工具，最多就是那根指月的手指。
当我们习惯用手指指指点点的时候，忘记了原来我们只是要指向月亮

carrincha

公木山 发表于 2017-8-9 19:33
这个讨论还真不错。
其实分析都可以很好，但是所谓最后一哆嗦，临门一脚，方程僵化了人的思维，从一个一元 ...

方程僵化了人的思维？？？不理解你在说什么。

公木山

如人以手指月示人，彼人因指，当应看月。若复观指，以为月体，此人岂唯亡失月轮，亦亡其指

iEVER

公木山 发表于 2017-8-9 19:56
如人以手指月示人，彼人因指，当应看月。若复观指，以为月体，此人岂唯亡失月轮，亦亡其指

越说越浪漫了，月亮也搞出来了。月亮不用手指，你闭上眼睛，心中有月亮，处处都明亮。

但是，做数学如同吃饭，要把你碗里的饭吃到嘴里，不用工具，怎么办？想着想着，饭就爬进嘴了吗？还是原始手抓饭呢？人类进化的过程中，为什么要发明工具呢？人类和动物的区别，不就是发明并会使用工具吗？要说工具是多余的，那么人类回到动物去？

公木山

看官只要看完过程，大致应该知道差异在哪里了。

所以这件事其实已经结束了。