市北资优生六年级题目寻求答疑

calaine · 发表于 2024-3-20 18:01

这两道例题72，36 能分解出很多因数组合，但是答案只选了其中一组，为什么选8x9 ， 4x9 这个组合？为什么不考虑能被2整除，被3整除？或者其他12X6，24X3这样拆分？如果题目是能被48整除，是选择拆分6X8吗？

乖墩檬乖 · 发表于 2024-3-20 19:35

先说例题2:
72名学生，你不妨把问题转化为每个同学交多少钱，以分币来衡量；这样就可以把小数转化为整数整除问题。
口527口可以被72整除，72是9x8，9和8互质。因此口527口须同时满足被9整除，又被8整除。根据9的倍数的位值规律和8的倍数的位值规律，可以得出答案。

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乖墩檬乖 · 发表于 2024-3-20 19:43

例题3更简单一点，其实隐含了有序枚举的思路。
首先将36分为4x9。
之所以选4和9作为倍数的基准而不是36的其他因数，也是因为4、9互质，不会互相影响失去独立性。

然后先根据4，是因为简单容易判断：4的倍数决定了十位只能是13579。

然后就是有序枚举，为了使原数最小（即商最小），假设A=0尝试做下去，如果不行，那就让A=1，A=2。。。

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乖墩檬乖 · 发表于 2024-3-20 19:45

如果是48，应该是拆成3x16，进而把16拆成8x2。

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小蝴蝶爸爸 · 发表于 2024-3-20 20:05

这里有个分解质因数的概念在里面
72分解质因数
3 x 3 x 2 x 2 x 2
或者是
3^2 X 2^3

calaine · 发表于 2024-3-20 22:18

谢谢回复，很详细很清晰。也就是需要拆分互为质数的两个因数。还想问一下，为什么互质不会互相影响失去独立性？为什么8x9，9不需要再拆分，但是3x16，16要继续拆分8x2呢

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calaine · 发表于 2024-3-20 22:19

小蝴蝶爸爸发表于 2024-03-20 20:05
这里有个分解质因数的概念在里面
72分解质因数
3 x 3 x 2 x 2 x 2
或者是
3^2 X 2^3

谢谢回复，还有个疑问是，为什么要拆分成两个互为质数的因数呢

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calaine · 发表于 2024-3-20 22:20

乖墩檬乖发表于 2024-03-20 19:45
如果是48，应该是拆成3x16，进而把16拆成8x2。

谢谢回复，很详细很清晰。也就是需要拆分互为质数的两个因数。还想问一下，为什么互质不会互相影响失去独立性？为什么8x9，9不需要再拆分，但是3x16，16要继续拆分8x2呢？

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zhangswallow · 发表于 2024-3-20 22:31

calaine 发表于 2024-03-20 22:20
谢谢回复，很详细很清晰。也就是需要拆分互为质数的两个因数。还想问一下，为什么互质不会互相影响失去独立性？  为什么8x9，9不需要再拆分，但是3x16，16要继续拆分8x2呢？

不能拆成2×8，2和8不互质，48=3×16就行，能被16整除的数是后四位能被16整除

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zhangswallow · 发表于 2024-3-20 22:41

本帖最后由 zhangswallow 于 2024-3-21 07:46 编辑

calaine 发表于 2024-03-20 22:19
谢谢回复，还有个疑问是，为什么要拆分成两个互为质数的因数呢

用72举例，如果拆为8×9，那么在后面判断整除，其实本质是判断了这个数能被3个2和2个3整除，这个数至少有质因数3个2和2个3；如果拆为4×18，能被4整除表示能被2个2整除，能被18整除表示能被1个2和2个3整除，那么其实按这样判断出来的数能表示至能少被2个2整除，这样就少算1个2，就是因为4和18有公因数2

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huns · 发表于 2024-3-21 07:31

感谢分享。

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blueking2009 · 发表于 2024-3-21 08:03

感谢分享。

223 · 发表于 2024-3-21 08:04

其实，学过小奥的应该都会做，有专门整除的几章内容……

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U哈哈哈 · 发表于 2024-3-21 08:44

这是奥数题吗

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calaine · 发表于 2024-3-21 09:23

U哈哈哈发表于 2024-3-21 08:44
这是奥数题吗

标题有写书本，市北资优生，六年级

calaine · 发表于 2024-3-21 09:24

223 发表于 2024-3-21 08:04
其实，学过小奥的应该都会做，有专门整除的几章内容……

会做是会做，但是讲不清其中的道理，比如为什么能被72整除，就想到把72拆分成两个互质的数相乘，也就是为什么一定要互质因数？

go419hcl · 发表于 2024-3-21 09:36

calaine 发表于 2024-3-21 09:24
会做是会做，但是讲不清其中的道理，比如为什么能被72整除，就想到把72拆分成两个互质的数相乘，也就是为 ...

其实不是互质的两个数相乘，任意两个数相乘都可以，但关键是任意两个数相乘对于解题无意义。
比如72，可以=8X9, 也可以 12x6，也可以36x2，也可以 3x24，但是，只有被2、3、4、5、7、8、9、11、13的数字才有规律：
比如，被2整除，说明是偶数
被3整除，所有位的和加起来可以被3整除
被4整除，最后两位能被4整除
被5整除，最后一位是0或5
被8整除，最后3位能被8整除。。。

go419hcl · 发表于 2024-3-21 09:39

后面那一题也一样，36只能拆成4x9才对解题有意义，拆成3X12就没用，因为因数是3确实有规律，但因数12没有规律。
这两题也困扰过我，不过后来想明白了。

calaine · 发表于 2024-3-21 09:41

go419hcl 发表于 2024-3-21 09:39
后面那一题也一样，36只能拆成4x9才对解题有意义，拆成3X12就没用，因为因数是3确实有规律，但因数12没有规 ...

谢谢解惑~

lzsgodmax · 发表于 2024-3-21 11:50

拆成8*9只是为了计算方便

因为任何整千数（1000,2000...）都能被8整除，所以一个能被8整除的四位数（或更高位数的数字），它的末三位数必定也能被8整除，从而可以确定个位数字是2，你如果拆成4的话，那么4的性质是末两位数能被4整除（因为100能被4整除），所以这里就会出现72和76两种情况，计算就复杂了，至于2就更不谈了，2468都有可能

又因为一个能被9整除的任意数，它各位数字加起来一定也能被9整除，从而就可以得出答案。当然你也可以考察3，被3整除的数也有一样的性质（各位数字加起来能被3整除），但这里答案不唯一，你还得再算一下去掉错误答案，会稍微麻烦点

niur · 发表于 2024-3-21 11:58

这种题目做了有什么意义

乖墩檬乖 · 发表于 2024-3-21 13:33

niur 发表于 2024-03-21 11:58
这种题目做了有什么意义

好玩啊，做数学题除了拿分，就是好玩而已。

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zhangswallow · 发表于 2024-3-21 15:24

判断一个数能否被另一个整除，当另一个数不是你已知的整除规则，比如2 4 8 3 5 7 11 13 等，那么需要把另一个数拆分成你知道整除规则的两个或多个数，比如能被72整除的数的特征我们不知道，但是我们知道能被8和9整除的数的特征，所以要拆成8×9，然后分别考虑被8和9整除的要求。
另一个要求是拆的数必须两两互质，也就是拆出来的数的质因数不能有重复，举个例子，72=2×2×2×3×3，那么能被72整除的数分解质因数是不是至少有3个2和2个3？但是如果把72拆成4×18，你会发现36能被4整除也能被18整除，但显然36不能被72整除，就是因为4和18有公因数2，在你分别判断能否被4和18的整除的时候，其实只能保证这个数的质因数最少有2个2，不能保证有3个2

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go419hcl · 发表于 2024-3-21 16:00

zhangswallow 发表于 2024-3-21 15:24
判断一个数能否被另一个整除，当另一个数不是你已知的整除规则，比如2 4 8 3 5 7 11 13 等，那么需要把另一 ...

嗯，这个说法更合理。我之前的说法是有问题的，如果考能被32整除的数字，就会出现错误。
互质确实是必须的。@calaine

calaine · 发表于 2024-3-21 16:05

zhangswallow 发表于 2024-3-21 15:24
判断一个数能否被另一个整除，当另一个数不是你已知的整除规则，比如2 4 8 3 5 7 11 13 等，那么需要把另一 ...

学习了，非常感谢！

xian0701 · 发表于 2024-3-22 10:53

zhangswallow 发表于 2024-03-21 15:24
判断一个数能否被另一个整除，当另一个数不是你已知的整除规则，比如2 4 8 3 5 7 11 13 等，那么需要把另一个数拆分成你知道整除规则的两个或多个数，比如能被72整除的数的特征我们不知道，但是我们知道能被8和9整除的数的特征，所以要拆成8×9，然后分别考虑被8和9整除的要求。
另一个要求是拆的数必须两两互质，也就是拆出来的数的质因数不能有重复，举个例子，72=2×2×2×3×3，那么能被72整除的数分解质因数是不是至少有3个2和2个3？但是如果把72拆成4×18，你会发现36能被4整除也能被18整除，但显然36不能被72整除，就是因为4和18有公因数2，在你分别判断能否被4和18的整除的时候，其实只能保证这个数的质因数最少有2个2，不能保证有3个2

第一点就是化元思想，用已知解决未知

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化学小世界 · 发表于 2024-3-22 11:33

学霸好多，顶贴。。。

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more01 · 发表于 2024-4-10 08:53

严谨专业，涨知识

davidli · 发表于 2024-5-10 12:59

因为8和9互素，被8和9整除，就能被72整除
而且8整除，9整除都有特征
如果拆成12和6，一个问题是被12和6不互素，被12和6整除，不一定能被72整除
另一个问题是被12和6整除，没有简单的特征
市北理这套书，最好有人带着学习，里面还有一些错误，比如前几天有个学生问我6年级的单位分数分解，刚开始的论述就有问题，只给了构造，没证明唯一，下面的例题需要用到唯一性

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davidli · 发表于 2024-5-10 13:02

互素的意义在于，在整除的世界里，素数是最小单元，不能再分解，两个数互素，相当于两者的最小单元完全不相干，如果能同时被它们整除，就得包含两者的所有最小单元，不会发生重叠

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