求教一道数论题

埃德蒙唐泰斯 · 发表于 2024-1-1 19:57

“n 是正整数，在连续的n 个正整数中，必有一个数，它的数码和是5 的倍数，求n 的最小值”，求详细解析，谢谢！

huns · 发表于 2024-1-1 22:33

莫非是9？？

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小蝴蝶爸爸 · 发表于 2024-1-2 03:59

56，57，58，59，60，61，62，63，64
n是9

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iolite · 发表于 2024-1-2 06:16

ID确实不错啊

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埃德蒙唐泰斯 · 发表于 2024-1-2 06:55

小蝴蝶爸爸发表于 2024-1-2 03:59
56，57，58，59，60，61，62，63，64
n是9

谢谢，具体的思路是什么？

davidli · 发表于 2024-1-2 09:39

基本想法是贪心，求最多个数的连续自然数，每个数的数码和都不是5的倍数。
关键点是进位，如果不发生进位，这些数码和依次加1，连续5个数必然会出现一个是5的倍数；一旦发生进位，末位又从0开始，此时连续5个数也必然有一个是5的倍数，所以最多个数不超过8，由此猜测n的最小值为9。
根据贪心的思路产生构造，从末位数字为6的数开始，为了保证前4个数的数码和都不是5的倍数，十位选5即可

化学小世界 · 发表于 2024-1-2 09:39

高深，等学霸回答。

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朗尼的姐姐 · 发表于 2024-1-2 11:32

这种题，我连题目到底问得是啥都不知道。
我家宝大概能蒙一下。

小朋友的英语三年级开始不懂了。
数学，2024年开始彻底不懂了。6年级。

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huhuyang2010 · 发表于 2024-1-2 11:42

n最少是9，xxx6开始的9位是最差情况 “xxx”部分的数码和为5的倍数即可。

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Paradox · 发表于 2024-1-2 12:30

设该组数k1…kn满足k1…kn-1数码和不会被5整除且kn数码和被5整除，因连续正整数，k1…kn的数码和S1…Sn有两种可能，第一种Sx=S1+x，即连续正整数，根据数的整除性，每5个有1个，第二种在有进位情况下，分两组，第一组Sx=S1+x，同上，第二组Sx+1=Sx-9+1+(1-1)=Sx-8，Sx+2=Sx-9+1+(2-1)=Sx-7，同上。为确保该组数是任意，需同时满足两种情况。所以第一组为4，第二组为5，n=4+5=9
手机打字，能省则省，随便看看当参考吧

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小蝴蝶爸爸 · 发表于 2024-1-2 13:20

本帖最后由小蝴蝶爸爸于 2024-1-2 13:21 编辑

埃德蒙唐泰斯发表于 2024-1-2 06:55
谢谢，具体的思路是什么？

正常情况下，
也就是不发生进位的情况下，连续5个数，数字和也是连续，
所以连续5个数，如果没有发生进位，必然会有一个数，各位之和是5的倍数。
最坏的情况下，
那就是连续4个数，各位之和要到5的倍数的时候就发生了进位。又要从头开始计算。
很不凑巧，这个位数加起来的h5余1，之后连续5个再遇到一个。
另外，遇到进位的时候根据最后9的个数(N个)，各位数字之和要减去9N-1.
根据这个思路，可以构造符合要求的连续9个数。