请问这道数论题目怎么做？

uin

已知a，b，a/b+b/a都是正整数，求证：a=b

这道题不用a，b互素只用整除的性质怎么证明？

huhuyang2010

设(a,b)=c, a=cm,b=cn,(m,n)=1=> m/n+n/m=整数，只有m=n=1才行。

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uin

huhuyang2010 发表于 2023-10-5 19:16
设(a,b)=c, a=cm,b=cn,(m,n)=1=> m/n+n/m=整数，只有m=n=1才行。

这样用到了m和n互素。
请问只用整除的性质能做吗？

因为b/a+a/b=(a^2+b^2)/(ab)是整数
所以ab|(a^2+b^2)
所以a|(a^2+b^2)，且b|(a^2+b^2)
所以a|b^2且b|a^2

到这里不知道该怎么做了......

qgege12

看看这样，小朋友思维方式行不行

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uin

qgege12 发表于 2023-10-5 21:01
看看这样，小朋友思维方式行不行

谢谢！
不过怎么证明a和b可以互相整除？

qgege12

uin 发表于 2023-10-05 21:38
谢谢！
不过怎么证明a和b可以互相整除？

看错题目了

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roammer

uin 发表于 2023-10-5 19:17
这样用到了m和n互素。
请问只用整除的性质能做吗？

a能整除b^2 可推出a能整除b,同理可证

uin

roammer 发表于 2023-10-06 08:23
a能整除b^2 可推出a能整除b,同理可证

这一步推不出来
12|18^2
18|12^2

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西瓜嘿嘿

a/b+b/a=(a^2+b^2)/(ab)
如果a不等于b，则ab>1
==>存在素数p|ab
不妨设p|a,则p不整除b
p不整除a^2+b^2
==>ab不整除a^2+b^2
即(a^2+b^2)/(ab)不为整数.

uin

西瓜嘿嘿 发表于 2023-10-6 10:03
a/b+b/a=(a^2+b^2)/(ab)
如果a不等于b，则ab>1
==>存在素数p|ab

“存在素数p|ab
不妨设p|a,则p不整除b”

这一步可能不行
比如a=6,b=24

西瓜嘿嘿

uin 发表于 2023-10-6 10:19
“存在素数p|ab
不妨设p|a,则p不整除b”

copy的时候漏了一个假设

(a,b)=1.

因为如果你不是互质的，你可以可以提取公因数，最后得到两个互质的数

uin

西瓜嘿嘿 发表于 2023-10-6 10:46
copy的时候漏了一个假设

(a,b)=1.

如果不用互素，只用整除的基本性质
这题能做吗？

西瓜嘿嘿

uin 发表于 2023-10-6 11:32
如果不用互素，只用整除的基本性质
这题能做吗？

互质不是也是用整除么。提取公因数最后讨论吧

chenxinini

设a/b+b/a=m，（a^2+b^2）/ab=m，所以a^2+b^2=mab，a^2+b^2-mab=0，当m=2时等式成立，所以a-b=0，所以a=b。

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chenxinini

uin 发表于 2023-10-05 19:17
本帖最后由 uin 于 2023-10-5 19:19 编辑


这样用到了m和n互素。
请问只用整除的性质能做吗？

因为b/a+a/b=(a^2+b^2)/(ab)是整数
所以ab|(a^2+b^2)
所以a|(a^2+b^2)，且b|(a^2+b^2)
所以a|b^2且b|a^2

到这里不知道该怎么做了......

设a/b+b/a=m，（a^2+b^2）/ab=m，
所以a^2+b^2=mab，a^2+b^2-mab=0，
当m=2时等式成立，所以a-b=0，所以a=b。

这样可以伐

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uin

chenxinini 发表于 2023-10-6 12:45
设a/b+b/a=m，（a^2+b^2）/ab=m，
所以a^2+b^2=mab，a^2+b^2-mab=0，
当m=2时等式成立，所以a-b=0，所以a ...

m=2时，等式为什么成立？

chenxinini

uin 发表于 2023-10-06 13:19
m=2时，等式为什么成立？

就是（a-b）^2=0，这样想可能不对，误导你了。不好意思

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jdmath

因为b/a+a/b=(a^2+b^2)/(ab)是整数
所以ab|(a^2+b^2)
所以a|(a^2+b^2),知a|b^2
b|(a^2+b^2),知b|a^2
于是a和b的素因子相同，如果a不等于b,那么存在一个a和b的素因子p的指数相同，不妨设a的指数m大于b的指数n,那么ab的指数等于m+n,而a^2+b^2为2n,因此ab不整除(a^2+b^2)