一道代数题

huhuyang2010 · 发表于 2023-3-10 14:44

大家试试，看有没有简洁的做法。

nimo1981 · 发表于 2023-3-10 16:17

是需要用三元韦达定理吗？

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huhuyang2010 · 发表于 2023-3-10 16:36

nimo1981 发表于 2023-3-10 16:17
是需要用三元韦达定理吗？

需要用的。

hearts · 发表于 2023-3-10 17:13

本帖最后由 hearts 于 2023-3-10 17:35 编辑

可以直接解出来，
作图法（或者取特殊值法）可判断出三个根都在（-2，+2）这个区间之间。
(具体： f(-2)=-1, f(-1)=1, f(0) = -1, f(1)=-1, f(2)=7, 可知3个根分别在 (-2,-1), (-1,0), (1,2)之间 )

令根为 m = 2*cos t
令 u = e^(i t) = cos t + i sin t
令 u^(-1) = e^(-i t) = cos t - i sin t
m = 2*cos t = u + u^(-1)

m^2 = u^2 + u^(-2) + 2
m^3 = u^3 + u^(-3) + 3u^2 u^(-1) +3u u^(-2)=u^3+u^(-3)+3u+3u^(-1)

已知 f(m) = 0
m^3+m^2-2m-1 = 0
整理得
u^3+u^2+u+1+u^(-1)+u^(-2)+u^(-3) = 0
等比数列求和
u^(-3) * ( 1 - u^7 ) / (1 - u) = 0

可解得
1-u^7 = 0

可知 t = 2k pi / 7
k = 1, 2, 3
(当k = 4, 5, 6的时候解是相同的, k=0时分母 1-u=0舍掉）

三个根分别为2*cos 2pi/7, 2*cos 4pi/7, 2*cos 6pi/7