再来一道几何题

huhuyang2010

锐角△ABC，AB≠AC，I为内心，O为外心，圆I与BC切于D点，M和N分别为弧BC和弧BAC中点，NI交圆O于另一点E，过I做BC平行线交MN于F，
求证：EDF三点共线。



自招难度。

huhuyang2010

证法一：
由垂径定理MN为直径，MN⊥BC，又IF//BC => IF⊥MN。又ME⊥NE，所以IFME四点共圆。
要证EDF共线，只要证明∠IFD=∠IFE，而∠IFE=∠IME=∠ANE。
只要证明∠IFD=∠ANE。
另一方面，ID/IA=IH/IA=sin(A/2), IF/NA=MI/MN=BM/MN=sin(A/2),
ID/IA=IF/NA,∠FID=∠NAI=RT∠ => ∠IFD=∠ANE。

证法二：
用三角可以暴力计算。不妨设c>b。
GD=(a+c-b)/2-a/2=(c-b)/2, tan∠IFD=ID/GD=2r/(c-b)。
IA=r/sin(A/2), NA=2R*sin∠NMA=2R*sin(90-1/2A-B)=2R*cos(1/2A+B)。
tan∠INA=IA/NA=r/(sin(A/2)*2R*cos(1/2A+B)) = 2r/(2R*(sin(A+B)-sinB)=2r/(c-b)。
所以∠IFE=∠IME=∠INA=∠IFD。

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cyprus

能把图画出来的就是普通学霸，证得出来的绝壁四校了

柚子茶

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vke_ri

柚子茶 发表于 2024-02-11 10:49
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