上海新执行的摇号政策改变了幼升小和小升初的录取方式。各种分析和解读层出不穷，本文尝试从数学的角度做简要分。
基本假设：
1. 学生学习能力或智力服从正态分布；
2. 学生摇号录取为0-1分布；
3. 之前的面试录取是有效的，可以把优秀的学生从众多申请者中区分出来；
4. 摇号政策是公平的，报名同一所学校，同一个类别的学生，被录取的概率是相等的。
之前面试招生，是为了把优秀的学生从众多申请者中辨别出来，录取这些优秀的学生。因此，如果招生的人数固定，申请者越多，学校能够招到的学生就越优秀。
| 报名人数 | 招生人数 | 录取比例 | | 区内 | 区外 | 合计 | | 300 | 0 | 300 | 100 | 33% | | 300 | 600 | 900 | 100 | 11% |
在这种录取方式下，从确保好的生源角度来看，学校希望申请自己学校的人越多越好。如果300人报名，学校只能录取到前100名学生；如果900人报名，就能录取到900名中的前100名，其中的300名中只有33人能被录取。从900申请者中录取的100人比从300申请这种录取的100人要好很多。在这种情况下，由区内招生变为区内区外同时招生，扩大招生范围，增加申请者人数，非常有利于学校录取到更更优秀的学生。
幼升小在面试录取下，每个学生被录取的概率是不同的。在300人申请的情况下，前100名优秀的学生录取率是100%，后200名录取率是0. 在这种情况下，为什么这200人还要去申请呢？可能的原因是这200人在申请之前并不知道自己的排序。不像大学录取，有考试成绩和过往录取情况做参考。
在摇号政策下，每个申请者被录取的概率是相同的。在300人申请的情况下，每个人被录取的概率都是33%，被录取的100人并不是最优秀的那100人。申请的300人服从正态分布，被录取的100人也是服从正态分布。换句话说，摇号政策下好中差的学生都有机会被录取，被录取的100人好中差的分布与申请者中300人的好中差的分布是一样的。因此增加申请人数，比如从300申请者增加到900申请者，并不能使学校录取到更好的学生。在900申请者中录取的100人，和在300申请这种录取的100人，好中差的分布是一样的，都是正态分布。
结论，在摇号政策下，增加学校的申请人数对录取到更优秀的学生是无意义的。延伸推论，如果本区报名人数能够达到或超过招生人数，学校必定可以招满学生，学校招生区外学生是没有意义的。如果本区报名人数小于招生人数，区外招生可以确保学校招满学生。 进一步可以解释为，热门学校（往年报名人数远远超过招生人数）可以分析下过往报名数据，如果本区报名人数已经超过了招生人数，跨区招生就没必要。
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发表于 2020-3-20 11:45
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