数论方程题

dora_clx

已知a,b,c这三个整数的最大公因数为1，并且无论将a,b,c以何种顺序填入下面关于x的方程的系数中，该方程总有两个有理数解，则这样的整数组(a,b,c)的组数有多少个？

__x^2  + __ x + __ = 0

huhuyang2010

无穷多个
比如a+b+c=0,且(a,b)=1即可

dora_clx

huhuyang2010 发表于 2024-6-5 09:15
无穷多个
比如a+b+c=0,且(a,b)=1即可

要有理数解，这种方法不能保证3个△都是完全平方数

huhuyang2010

dora_clx 发表于 2024-6-5 09:19
要有理数解，这种方法不能保证3个△都是完全平方数

x=1必是其中一个根，另一个也是有理根

huhuyang2010

ax1^2+bx1+c=0
bx2^2+cx2+a=0
cx3^2+ax3+b=0
加起来(a+b+c)(x1^2+x2^2+x3^2+x1+x2+x3+1)=0
x1^2+x2^2+x3^2+x1+x2+x3+1=(x1+1/2)^2+(x2+1/2)^2+(x3+1/2)^2+1/4>0,所以a+b+c=0。
所以必须a+b+c=0，(a,b)=1，abc不等于0。（因为(a,b,c)=(a,b,-(a+b))=1，所以(a,b)=1，反过来也成立）
反过来，如果满足a+b+c=0，(a,b)=1，abc不等于0，必有一根为1，另一根也是有理数。
综上，充要条件a+b+c=0，(a,b)=1，abc不等于0，有无穷多组(a,b,c)。

guttag

huhuyang2010 发表于 2024-06-05 10:01
本帖最后由 huhuyang2010 于 2024-6-5 10:08 编辑

ax1^2+bx1+c=0
bx2^2+cx2+a=0
cx3^2+ax3+b=0
加起来(a+b+c)(x1^2+x2^2+x3^2+x1+x2+x3+1)=0
x1^2+x2^2+x3^2+x1+x2+x3+1=(x1+1/2)^2+(x2+1/2)^2+(x3+1/2)^2+1/4>0,所以a+b+c=0。
所以必须a+b+c=0，(a,b)=1，abc不等于0。（因为(a,b,c)=(a,b,-(a+b))=1，所以(a,b)=1，反过来也成立）
反过来，如果满足a+b+c=0，(a,b)=1，abc不等于0，必有一根为1，另一根也是有理数。
综上，充要条件a+b+c=0，(a,b)=1，abc不等于0，有无穷多组(a,b,c)。

bx1+cx2+ax3不等于（a+b+c）(x1+x2+x3)，相加的方程式算不出来

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huhuyang2010

guttag 发表于 2024-06-05 14:08
bx1+cx2+ax3不等于（a+b+c）(x1+x2+x3)，相加的方程式算不出来

搞错了，必要性有问题，我晚点看下

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jdmath

除了a+b+c=0的解，52，5，-33是最小的解，看不出什么规律，这种解也应该有无穷多种

Lulei

a不为0，c为0，b任意非0整数不就行了吗？

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dora_clx

Lulei 发表于 2024-06-05 23:44
a不为0，c为0，b任意非0整数不就行了吗？

abc不能为0, 6个方程都要有有理数解

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lwangchn

2，3，1
1，3，2

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dora_clx

lwangchn 发表于 2024-6-6 08:41
2，3，1
1，3，2

要排练组合 6 个方程，全是正整数的肯定不行。