数论证明题

dora_clx

已知方程（x^2+20ax+10b)(x^2+20bx+10a)=0无实数根，其中a,b是不同的实数。求证：20(b-a)不是整数

乖墩檬乖

这。。。能不能先确定题目写对了啊？huhuyang就很好。

scholes

这题不是数论题吧，就普通的代数题。

∵无实数根，∴Δ＜0，∴10a＜b，10b＜a，且a≠b
∴a,b的取值范围都在区间（0，0.1）
∴ 20（b-a）的取值区间为（-2，2）
用反证法，假定它是整数，那么20（b-a）只可能是-1和1
假如是1的话，则b=a+0.05
又∵a＞10b，∴a＞10(a+0.05)，但由于a＞0，不等式显然不成立。
假如是-1的话，则a=b+0.05,∵b＞10a，∴b＞10（b+0.05），显然也不成立。
综上，20（b-a）不可能是整数

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dora_clx

scholes 发表于 2024-2-13 23:34
这题不是数论题吧，就普通的代数题。

∵无实数根，∴Δ＜0，∴10a＜b，10b＜a，且a≠b

有点小问题，Δ＜0得到的是 10a^2 < b, 10b^2 < a。最后缩放应该是 10b^2 + b + 0.025 > b。

scholes

dora_clx 发表于 2024-02-14 14:38
有点小问题，Δ＜0得到的是 10a^2 &lt; b, 10b^2 &lt; a。最后缩放应该是 10b^2 + b + 0.025 &gt; b。

平方我输入法里打了，但发出去后就显示不出来

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