四色书"待定系数法"这节"性质２"的证明有问题？

暖心阁主人 · 发表于 2022-8-11 14:09

　　昨晚下班回家问娃当天数学做的是否顺利，有无疑问之处，娃说还是觉得待定系数法的性质2书上的证明不对。

　　这个性质2前天他就说证明有问题，我当时还顺着书上的意思一通讲解，觉得把他讲明白了，我说既然恒等式是对任意x都成立，那个两边除以x得到的式子对x=0来说也是恒等，所以它可以再取x=0, 得到a1=b1。当时娃支楞了半天，大概被我说的绕晕了，没反驳。

　　昨晚他又质疑，我再仔细看了看，觉得自己昨天的说法的确有点牵强附会，感觉书上的证明真的不严谨。娃的疑问是从“两边除以x”那句开始的，既然两边除以x, 那前提是ｘ不等于0, 在ｘ不等于0的前提下得到的恒等式里，再取x=0得到a1=b1, 就会矛盾了，娃认为x=0时应该得不到那个恒等式，更不能在这个得不到的恒等式里取x=0来得到后续的结论。
　　
　　这是七年级四色书p44页的内容，本来娃已经做到后面的多项式除以多项式了，可每每放不下这个证明，时不时就要掉头回来想这里，以至于后面的进度都慢下来。不知是否有别的书上严谨证明了这个性质2？坛子里是否有大佬可以证明呢？

Anderson · 发表于 2022-8-11 15:23

先抖个机灵，我想到了一个绝妙的证明法，但是每个回复的字数限制不够我写下来……

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Anderson · 发表于 2022-8-11 15:25

然后是正式回复，第一个x=0后面得出的进而，是对全实数范围内的x都成立的，所以这个时候不存在x必须为零了，所以也可以继续做除法了。

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乖墩檬乖 · 发表于 2022-8-11 16:18

四色书这里的证明确实有问题。

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winspeed · 发表于 2022-8-11 17:07

甘博士发表于 2022-08-11 15:44

这是使用了代数基本定理，已经不算是初等证明了

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暖心阁主人 · 发表于 2022-8-11 17:11

Anderson 发表于 2022-8-11 15:25
然后是正式回复，第一个x=0后面得出的进而，是对全实数范围内的x都成立的，所以这个时候不存在x必须为零了 ...

不大明白，就算那个进而是对全实数范围的x成立，也不代表0可以作为除数来得到全实数范围内“两边除以x”后面的式子恒等呀！0在整个实数范围也不可以作为除数吧？

暖心阁主人 · 发表于 2022-8-11 17:14

甘博士发表于 2022-8-11 15:44

非常感谢！我真的没想到这么快可以有人提供证明。
这个证明完全可以让人信服了！虽然用到了娃还没学过的一元n次方程根的性质，但去了解一下就没问题！
可以请教下这段证明出自哪本书吗？

暖心阁主人 · 发表于 2022-8-11 17:18

乖墩檬乖发表于 2022-8-11 16:18
四色书这里的证明确实有问题。

四色书这里因为还没教到一元ｎ次方程，所以可能不好证明，用了个看上去似乎证明出来的方式。我翻了其它教到待定系数法的书，都是直接给出性质结论，没有去证明的。

Anderson · 发表于 2022-8-11 17:36

暖心阁主人发表于 2022-08-11 17:11
不大明白，就算那个进而是对全实数范围的x成立，也不代表0可以作为除数来得到全实数范围内“两边除以x”后面的式子恒等呀！0在整个实数范围也不可以作为除数吧？

对全实数成立，后面的除以x就不是除以0了呀。这时候x可以取非0值。

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暖心阁主人 · 发表于 2022-8-11 18:18

Anderson 发表于 2022-8-11 17:36
对全实数成立，后面的除以x就不是除以0了呀。这时候x可以取非0值。

x取非０值才可以除以ｘ, 所以除以ｘ后的式子对ｘ不等于０是恒等的，但不能囊括x=0的情况呢！

乖墩檬乖 · 发表于 2022-8-11 18:36

暖心阁主人发表于 2022-8-11 17:18
四色书这里因为还没教到一元ｎ次方程，所以可能不好证明，用了个看上去似乎证明出来的方式。我翻了其它教 ...

我刚刚看了一下，老版本四色书里是没有这个内容的，老版本的书也就不存在这个问题。
i这里主要是语言描述上，比较难以理解容易产生歧义。
我用通俗语言解释一下吧，还是按照你帖子的图

1、如果性质1成立，即等式左边恒等于右边，那么x可以取任意实数都能使等式成立，自然也就可以取0。当x=0时，要让等式恒成立，必须a0=b0。
2、已知a0=b0了，那么就在等式两边分别减去a0和b0，剩下的依然是个恒等式，对于x取任意实数都成立。
3、既然如此，就可以两边同时除以一个不为零的x，。。。。。

现在能看懂了吧。

乖墩檬乖 · 发表于 2022-8-11 21:35

“恒等于”的定义，在这里就是要对于任意x都成立

暖心阁主人 · 发表于 2022-8-11 21:43

乖墩檬乖发表于 2022-8-11 18:36
我刚刚看了一下，老版本四色书里是没有这个内容的，老版本的书也就不存在这个问题。
i这里主要是语言描 ...

1，2一直没有疑义的（两边分别减去a0和b0后的恒等式姑且称为式子A吧）

只有3，式子A两边同时除以不等于0的x后得到的式子（称为式子B），式子B里x的范围应排除0，所以不能在B里再将x设为0来做下一步推论。

另一方面，即使不做除法，将式子A两边提取出x来，可以认为式子A = x 乘以式子B

x为0时，式子B不恒等也可以保证A恒等，所以式子B里取x=0，不一定能得到a1=b1.

总的来说，不是不明白书里的解释，而是觉得书里这种证明是有漏洞！

暖心阁主人 · 发表于 2022-8-11 21:52

本帖最后由暖心阁主人于 2022-8-11 21:56 编辑

乖墩檬乖发表于 2022-8-11 21:35
“恒等于”的定义，在这里就是要对于任意x都成立

嗯，对任意x来说，只有式子A是恒等（x等于0和x不等于0，式子A都恒等）。
但是你推论出式子B为恒等式时已经限定x不为0的条件，这就不是对任意x都能得出式子B恒等了。

[初中数学] 四色书"待定系数法"这节"性质２"的证明有问题？

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