我教方程的思路
本帖最后由 满爸 于 2017-9-24 11:57 编辑本帖不讨论小学要不要提前学方程（组）、提前学好不好，而是就“家长怎么教”谈一谈自己的思路。
网上看了下人教、北师大、沪教版数学教材电子版，好的方面是对方程求解手段，如合并同类项、移项等原理基于已学知识（运算律、等式的性质等）给出了解释，知识体系连贯性有了保证。这方面比分数、有理数的教材内容做得好多了。不足之处：1 对“解方程”、“方程的解”、“同解方程”、”同解变形“这几个概念强调得不够，解方程似乎只要得到”x=a"就万事大吉，到出现分式方程后很容易犯增根失根的错误。2. 二元一次和三元一次方程组的解法，直接引入矩阵初等行变换、阶梯形和高斯消元法就好了，这虽然是大学线性代数的内容，但放到初中讲完全没问题，因为学完解一元一次方程，三种初等行变换已经学了两种。剩下一个行变换：交换两个方程的位置，对小学生来说都毫无难度。
下面说说我的思路：
1. 我理想中的学习一次方程（组）的预备知识是分数（求解ax=b需要在方程两边同乘1/a）、代数概念启蒙、数的运算律和等式性质。这几件事也是个大话题，本帖就先略过了，假定已经掌握了这些知识，进入方程的学习。
2.学习教材，我认为义务教育课本适合大多数家庭。
3. 首先肯定是学一元一次方程。在一元一次方程学习伊始就要讲清楚“解方程”、“方程的解”的概念。以一元一次方程为例，解方程不是得到式子“x=a"就ok了，而是”求出使得方程两边相等的所有可能的数x“。方程的解是使得方程两边相等的数x。
4. 一元一次方程求解技术（合并同类项、移项、去括号、去分母、两边同乘非0数）的原理讲解要特别重视。除了要讲这些技术的来源，也就是数的运算律和等式性质（义务教育课本上都做了讲解），更重要的是引入”同解“的概念。
比如方程2=8-3x，经过移项（3x=8-2)、合并同类项(3x=6)、两边同乘1/3得到x=2。逻辑思维好的小朋友可能要问了，经过这么多步骤，方程的形态发生了很大变化，怎么知道最后x=2一定是原方程2=8-3x的解？的确，表面上看我们没法确定x=2到底是不是原方程的解，必须要代回原方程验证。每次求解完了都要代回验证挺烦人的，为了省去验证步骤，那就要引入”同解“的概念。简单说，两个方程有相同的解，就是同解方程。详细来说：如果方程A的每一个解也是方程B的解且方程B的每一个解也都是方程A的解，方程A、B就是同解方程。如果求解过程中对方程做的变形能保证前后是同解方程，那就是一个”同解变形“。求解过程中每次变形都是同解变形，才可以省去代回验证的步骤。幸运的是，数的运算律和整式的性质保证了合并同类项、移项、去括号、去分母、两边同乘非0数这些都是同解变形，我们可以放心地运用这些技术化简方程，直到得到x=a这样的式子，同解变形告诉我们，这一定就是原方程的解。
强调”同解“概念不仅具有逻辑上严谨的意义，对后续学习分式方程也有很大帮助。比如(x-3)/(x-2)=1/(2-x)，如果用两边同乘(x-2)来去分母，这一步就不是同解变形。因为变形后的方程x-3=-1的解2并不是原方程的解，从而出现了”增根“。增根失根也是中学代数题一个容易失分的点
5. 在引入方程组的定义后，首先把一元一次方程中”解方程“、”方程的解“、”同解方程“的概念拓展为”解方程组“、”方程组的解“、”同解方程组“。然后直截了当引入基于初等行变换的高斯消元法就好了。线性代数里的初等行变换是基于矩阵来描述的，我们可以改用方程来描述而不必引入矩阵的概念：
1）某个方程两边同乘一个非零数c
2）把某个方程两边同乘任意数c，然后加到另一个方程两边
3）互换方程组中两个方程的位置
一元一次方程解法中其实已经包括了初等行变换中的1) 2)，互换两个方程位置显然是同解变换，因此初等行变换三个操作全部是同解变形。如果我们能构造一种算法，只用这三种变换求解方程组，那么最后得到的解一定和原方程同解，这就是著名的高斯消元法。我的看法是跳过二元一次方程组，直接上三元一次方程组。因为三元一次方程组更容易看出高斯消元法背后的思想——将方程组化为阶梯型（二元一次方程组的”阶梯“不明显），最后一个方程必为ax=b形式的一元一次方程，解出后依次反向代入前面的方程，通过N个一元一次方程解出整个N元一次方程组。举个栗子：
x + y + z = 23 ①
x- y + 3z = 19②
2x + y - z = 20 ③
首先消去②、③中的x：-1*①+②、-2*①+③
x + y + z = 23 ①
- 2y + 2z = -4②
- y - 3z = -26 ③
接着消去方程③中的y：-1/2*②+③
x + y + z = 23 ①
- 2y + 2z = -4②
- 4z = -24 ③
这样就构造出了阶梯型，先通过方程③求解出z=6，代入②求解出y=8，然后y、z代入①求解出x=9。当然，教小朋友的时候可以反过来教，先展示阶梯型长什么样，问问他面对阶梯型如何求解方程组。然后启发他怎么通过行变换实现阶梯型。直接基于初等行变换教高斯消元法的好处：1. 高斯消元法是一种算法，算法的一个特征是：不用多想，只要照着步骤做就一定能解出来，对普娃来说可能还减轻了思考的负担。 2. 方便与大学的线性代数课程衔接
一点不成熟的想法分享给各位家长，All comments are welcome! 谢谢分享，我正在复习一下方程组，去讲给娃听
本帖最后由 陪伴成长 于 2017-9-24 12:25 编辑
谢谢分享！
另外想咨询一下，按照您的思路，应该经过怎么样的学习顺序，多长时间，一步步学到方程呢？为了讨论方便，我们假设从一年级开始、从数学零基础开始吧。
非常感谢！ 学习学习
收藏学习，同解和增根这块一直找不到好的切入点，尤其是增根，感觉以娃现在的水平理解不了
个人体会，三升四暑假教的方程。 增根的部分是个坑，小朋友容易忘记，主要也是三年级之前的除法和分数运算熟练度敏感度的问题。高斯消元法引入线性代数的概念，主要问题是抽象度太高，从算术到代数，本来就是一层抽象了，现在要进入矩阵运算，小朋友一时半会转不过弯来，就算当场听明白了，应用起来的熟练度，难度都不小。 其余的部分都不算太难，我们之前没教过方程，但是在一些数论和几何题目中，都有相当程度的代数运算，进入方程，只能算是代数运算的一种应用场景而已。 路过学习
按照学校课本学到七下，一步步学下来这些都是很简单的。所谓增根在分式方程里出现
路过学习
进来学习
学习了，谢谢楼主
kathic 发表于 2017-9-24 14:10
个人体会，三升四暑假教的方程。 增根的部分是个坑，小朋友容易忘记，主要也是三年级之前的除法和分数运算 ...
不必担心抽象，高斯消元本身只是一种解方程组的技术，中国人1000年前就已经掌握了。我在文中说了，矩阵初等行变换完全可以替换为用方程表述，不用引入矩阵的概念，而且校数一元一次方程解法就已经包括两种初等行变换 陪伴成长 发表于 2017-9-24 12:23
谢谢分享！
另外想咨询一下，按照您的思路，应该经过怎么样的学习顺序，多长时间，一步步学到方程呢？为 ...
零基础学习仍然可以跟着校数课本来，校数课本的体系源自大航海时代西欧的商业算术，后来经由欧美数学家和数学教育工作者完善定型成为小学数学教育的主要内容，可谓久经考验的经典。主线知识就是我在文中说的：整数四则运算、加法和乘法运算律、分数的四则运算、代数启蒙（用符号表示数）、等式性质（主要是两条：1. 等式两边加上相等的数，等式仍成立 2.等式两边乘相同的数，等式仍成立）。
至于多长时间学完就不好说了，因人而异，对普娃来说，一般在3、4年级，这时候整数四则运算已经学完，分数有了初步概念，奥数中鸡兔同笼等可以用方程来解的题也逐渐增多。关键节点还是看代数启蒙何时能完成。我认为代数启蒙有两个很好的切入点，一是运算律，因为运算律用符号来表示非常简洁明了（比如乘法交换律：ab=ba，a，b是整数），另一个启蒙代数的好时机是分数四则运算法则用符号来表示（比如分数加法：a/b+c/d=(ad+bc)/bd），比纯文字描述简洁得多。越早习惯代数表示，也就可以越早进入方程的学习 这个文章好，收藏，学习 谢谢分享，我们昨天进行了第四节方程课，开始方程运用练习，孩子们争先恐后到黑板上做题，兴趣非常浓。
2年级学成这样，我觉得也是很意外了。稍后分享。:loveliness:: 昨天正好在家里给小的引入方程的概念。今天就看到这篇文章，太及时，收藏了，消化下，十一和娃慢慢过。 进来学习的 消元、移项，太专业。对于低年级的孩子，个人觉得复杂了。
可以简单成“黄金法则”（golden rule）。即一个等式，对等号“=”左右两边进行同样的四则运算，等式仍然成立。
消元、移项，太专业。对于低年级的孩子，个人觉得复杂了。
可以简单成“黄金法则”（golden rule）。即一个等式，对等号“=”左右两边进行同样的四则运算，等式仍然成立。
本帖最后由 陪伴成长 于 2017-9-25 20:07 编辑
满爸 发表于 2017-9-24 21:21
零基础学习仍然可以跟着校数课本来，校数课本的体系源自大航海时代西欧的商业算术，后来经由欧美数学家和 ...
这两天又仔细考虑了一下lz的回复，然后还有一个疑问，就是 计算 和 应用 如何平衡的问题。
目前的小学校内数学，大部分内容其实都是计算，而 小学奥数 大部分内容其实是数学的应用。在规划小朋友的数学学习的时候，这两者应该如何平衡才会比较好呢？
比如说，小学低年级应该就可以学习解方程，但是按照 奥数 的体系，真正需要使用方程去解决问题其实是中高年级的题目了。应该如何来处理这种差距呢？
再次非常感谢！
smartsamuel 发表于 2017-9-25 15:43
消元、移项，太专业。对于低年级的孩子，个人觉得复杂了。
可以简单成“黄金法则”（golden rule）。即一 ...
合并同类项、移项、去括号、去分母、两边同乘非0数，这几个术语是校数课本的传统，都可以去掉不讲，本质上它们只是运算律和等式性质的简单推论。消元我认为还是要讲的，比一元一次方程复杂的方程（组）求解就两个基本思想：消元、降次 陪伴成长 发表于 2017-9-25 20:04
这两天又仔细考虑了一下lz的回复，然后还有一个疑问，就是 计算 和 应用 如何平衡的问题。
目前的小 ...
整数和分数的四则运算，看上去只是计算，其实包含了一个演绎体系，当初欧美数学家设计小学数学体系参照的就是几何原本的编写思路。所以学整数和分数的四则运算不仅练计算，也是认识、学习数学思维模式的过程，重要性不言而喻。虽然通过各种应用题也能学习数学思维，但通过整数、分数来学习数学思维显然系统性更好。可是，如果从中班大班启蒙来说，可能又是各种看得见摸得着的实际生活问题更容易入门。所以我会考虑幼儿数学启蒙用实际生活问题；小低年级系统学习整数和分数为奥数打下计算和思维基础，这个时候更多关注比较纯粹的数学问题；到三四年级开始攻奥数再偏向应用题求解
至于方程，小奥应用题大多数是考察基本数量关系和单位1概念的灵活运用，并不超出整数和分数演绎体系的范围，所以方程不是必须。而且解方程技术本身没法帮你自动完成列方程的步骤，还是要靠良好的数学思维。我的意见是把学习方程作为数学知识学习的自然延伸（就是说我预备知识该学的都学了，接下来该学方程了），而不是专门学来求解小奥应用题。 思路清桑格 满爸 发表于 2017-9-25 22:45
整数和分数的四则运算，看上去只是计算，其实包含了一个演绎体系，当初欧美数学家设计小学数学体系参照的 ...
lz的思路令我耳目一新。
是否可以这样理解：小学低年级的数学学习中心应该还是以计算为核心的校内数学体系，当然实际范围可能并不止于小学阶段的内容，根据需要也可以拓展到更高阶段。等这个体系完全搭建完成，并且熟练掌握之后，可以到中高年级再来解决应用的问题。
再次非常感谢！
非常赞同楼主单位1的概念，把这个数量关系思路撸顺，灵活应用、玩于股掌…………
谢谢分享 谢谢分享
“解方程技术本身，没法帮你自动完成列方程的步骤，还是要靠良好的数学思维”
http://www.qianfanedu.cn//mobcent//app/data/phiz/default/23.png
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陪伴成长 发表于 2017-9-25 23:30
lz的思路令我耳目一新。
是否可以这样理解：小学低年级的数学学习中心应该还是以计算为核心的校内数 ...
是的。一方面数和计算作为必备技能要熟练掌握，另一方面更重要的是从数和计算中学习数学思维方式。 谢谢分享，收藏
路过学习,家长个个比老师厉害。 满爸改名字啦……http://www.qianfanedu.cn//mobcent//app/data/phiz/default/01.png
starsun 发表于 2018-9-23 12:10
满爸改名字啦……
额 因为上次看到一个ID叫“满妈”:L略尴尬 正打算学习方程，谢谢分享！ 谢谢楼主，学习了 学习数学思维方式。 不错，马克一下:)
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