谈谈数学（或许还有其他理科自然科学）的学习——第四部分（完结）
本帖最后由 乖墩檬乖 于 2020-7-1 19:01 编辑四更完结篇（长更）
我在三更的结尾留了一个问题：奥数题到底要不要做？
在认真讨论这个问题之前，我们先要来弄清楚，我们所说的奥数，到底是个什么东西？
如果从数学作为一门基础学科的角度来说，只有数学以及它的分支或者相关学科，而从来不存在什么“奥数”——从来没有一个数学分支叫做奥数的。
众所周知，小学乃至初中阶段的奥数，根源上来自于“奥林匹克数学竞赛”，这是高中学段的东西，自上而下发展到了初中再到小学。所以“奥数”实质上是“竞赛数学”——是以超出正常学段的知识范围和考察难度，用来选拔出相似学时前提下，对于数学学科掌握程度更好的学生——即筛选数学天赋高的学生。
这里的天赋高，指的是中国这样一个14亿人口的国家里面每年选拔100个孩子的水平——相比每年数百万近千万的高中毕业生来说，接近10万分之一的水平，如果考虑到相同学段小学入学人数的话，就是接近18万分之一的水平。上海这些年小学入学人数多少不知道大家有没有印象？也就是20万上下。
也就是说，“奥数”作为竞赛数学，真的只是少数人的游戏，是少数智力和努力碾压同侪的人的游戏。正如前文曾提到的：作为考试，要提分，刷题是有用的，但是也要看是谁来刷题的啊！付云浩好像也说过类似的话：只有顶级的选手，才配得上大量的刻意练习来提高能力——他当然是针对奥数比赛说的。这也同样适用于我之前的论述，那些为了提分而做的针对性练习，是要和考试级别、自身实力级别匹配的。
所以，对于99.999%的孩子或者家长来说，没有奥数，只有数学！我们的孩子，学的是数学，是现代数学，而不是所谓奥数，更不是古代数学。
如果我们考察小学阶段各类机构的奥数教学内容和市面上的奥数参考书，会发现总的内容和结构是大同小异的，并且都是以专题划分，不同的专题配上相应的几种方法，再加上习题反复训练这些技能。要说区别，除了难度定位之外，只在于专题的顺序会有调整——这也是机构之间差异化竞争的手段。
如果我们可以更加仔细一点，或者站得更高一点，从小-初-高共计12年甚至到大学的数分或高数的学校数学内容的发展来看这些专题的话，就会发现小学奥数专题所涉及内容的构成，尤其是那些难点，绝大部分都可以在初中甚至高中数学教材里找到：
平面几何是初中的
和差倍、等量代换是方程的铺垫，方程等是初中的
排列组合是高中的
盈亏、鸡兔同笼虽然可以用方程解，但是其假设法所考察的实际上是变量关系，属于初中到高中的函数知识
流水行船、行程、牛吃草之类的，就属于方程乃至函数关注的问题了，某些还是属于中学物理的学习范畴
甚至还有部分是到了大学非数理专业都不会有机会接触到的东西，比如数论、图论和拓扑、比如多种非十进制转化等等
这样的内容设置，说到底就是“提前学习”——这个说法并不准确——准确地说：是比教学大纲提前学习。当然，比教学大纲提前学这个事件，并没有办法判定好坏的：先不说大纲本身又没有问题，就说知识本身就是不分年龄的：学习能力到了，前置的铺垫好了，学了就学了呗，非得停下等大部队？教学大纲对学校来说是强制标准，但是对个人来说，只是一个参考而已。但是奥数培训带来的严重问题是：完全打乱了数学学科本身在内容上的系统性和严谨性——尽管数学这门学科的发展过程并不一定是系统的。
系统性代表什么呢？代表了数学自古发展至今，尽管历程漫长,艰辛曲折，但是始终追求的严谨和完备，更代表了背后最普适的逻辑。所有的数学家们，就是在用各自近乎偏执的努力让数学变得更系统，每一个定义和概念、每一个知识领域，乃至不同知识领域之间的关系，这一切一切，是有着弯曲历史和清晰的逻辑链条联系着的——至少在已知的初等数学和高等数学领域是这样的。
像机构奥数这种“专题类”的模式，可以适当地利用在赛前或者考前突击，帮助做整理和归纳，但是如果运用在日常教学中，其实是在现代数学的学习上走了弯路——不是以学科逻辑和发展为主线，而以所谓的专题为主线。
仅就数学需要系统性学习这一点而言，我其实是非常赞同论坛某位颇受诟病的大侠的观点的，事实上我在2017年底注册千帆账号和这位也有些关系，这个容后有机会再说了。
所以，奥数题和课本上的习题本质上是一样的，都是数学题，我们当然可以做。而且直言不讳地说，尽管机构的奥数教学方式令人无力吐槽，但是以xes、sj为主的机构，以及市面上的奥数教程、高思课本/导引等书籍，其选题的水平还真是一般人无法望其项背的。但是在做之前，我们要考虑一个问题：如果把所有的习题（包括奥数题）作为资源库的话，我们应该怎么去利用这些资源。
我觉得以下的一些原则是值得参考的：
1、尊重现代数学这门学科本身的知识结构和发展顺序，据此系统地，有顺序地学习“知识型内容”，掌握其背后的原理乃至产生的原因。
2、根据学习的进度，挑选和已学的“知识型内容”相关的习题进行练习，难度请和具体孩子的实际能力相匹配。
3、对于“技能型内容”，请留给孩子充分的自行探索的时间和空间，而非简单地灌输。当讨论某个具体方法时，请务必解释清楚（亦可以自行百度）这个方法背后的原理，不要只讲应用。
4、条件允许的话，请尽量补充一些正统的逻辑学知识。
我认为比较理想的方式，是参照“公理化”的方式，从一开始，就将孩子已经掌握的“知识型”内容做一次盘点，并将其作为前提，根据逻辑推理推导一切后续的“知识型”内容，引导孩子自行探索解决问题的思路和技巧，尽量不要听套路化的课程或者看例题来学习。在这个过程中，和孩子一起不断补充或者引入新的知识领域，不断修正和完善讨论问题的范围和结论。
要做到这点很困难，所以我个人采取了一条相对可行度高一点的折衷的路径：
1、根据现代数学的体系和逻辑，结合小初高甚至部分大学数学的内容，确定基本知识点——即所有问题的开端。这里我没有完全按照我们现行的教材来，因为我们的教材，有些话不可言说。
2、从逻辑和人类认知发展史的角度，向孩子解释这些最基本的知识点的产生原因和发展过程
3、辅以相关的科普书籍，大约了解学习的内容位于数学体系的哪一个板块，未来会和哪些其他板块有交集，即知识定位
4、以上述已知的知识型内容为前提，为了引入下一个/进一步的问题，提出问题，让孩子自己思考，听听他的想法甚至是猜测，问问他如果是古人，遇到这个问题，根据已有的知识，怎么猜测怎么推理？为什么？
5、当相关的知识型内容已经具备了，从奥数题库里挑选一些代表性的习题，试着让孩子自己去解决，一定要写清楚过程或者说得清楚过程，但不必一定按照答案里的方法，鼓励不同的想法。
6、可以根据孩子已经掌握的“知识型”内容的进度，让他尝试一些从奥数题库中挑选出来的趣题，增进兴趣；鼓励她/他挑战难题，并实施奖励。
如此3-6循环，周而复始，其间不断修正或补充，并在3年级或者4年级左右引入一些正规的逻辑学课程，和数学的学习两相印证。
比如，以（含零）自然数为前提，会问到有没有比1大，比2小的情况，该怎么表示？分割成无数小块？从而引入分数。分数是不是代表了所有？举例根号2的发现，引出无法用分数表示的一类数字——无理数。。。。凡此种种，从数学发展的角度，从先贤数学家追求数学完备性的偏执性出发，去看到现代数学是如何一步步变得完整自洽乃至对称的。
至于数学和逻辑相辅相成的关系，举个例子，我在孩子3年级的时候，通过一本他喜欢的科普绘本《无穷的画廊》，给他简单介绍了一下集合的概念，并且偶尔会用生活中的实例来请他分辨一下集合之间、集合与元素之间的关系。等到4年级疫情在家网课的时候，我给他讲到了逻辑学里“定义”的外延和内涵，在用逻辑学的方式解释了一遍之后，又以集合的性质和集合中的元素的形式解释了一遍，立刻他就明白了是内涵决定了外延，也顺带对于集合的理解又深入了一些。
至于用作题库的奥数书，市面上的书籍，我个人推荐高思的课本和导引。导引是纯粹的经典题库就不提了，我推荐高思课本原因只有一个，不是它的卡通界面，而是它的讲解少且精，更重要的是例题下面没有示范，需要自己思考完成。不像其他的书籍，先来一个例题，按部就班印刷了解题思路和过程，然后来一道相似的题目让你照猫画虎——一不留神就失去了独立思考的机会。当然，使用的过程中，要做到能完整清晰表达过程，过程不以答案为标准。
高思课本和导引的使用，建议课本到4年级结束、导引到3年级结束后，先停一停，适当地引入代数的初步知识，花点时间把数系（一直到实数）、分数运算、一次方程（组）和一次不等式(组)以及函数的基础知识完成之后，再开始高思课本的5年级和导引的4年级，在系统性上可能更合适一些。
题库的使用，是在已经掌握相关知识型内容和充分独立思考之外的延伸和补充。
一言以蔽之：系统地学现代数学，做针对性的习题——如果说奥数的话，就是：奥数题是用来做的，但奥数不是用来学的。
对于校内数学依然存在短板的孩子，如果只是为了提高校内测验水平，那就按照校内难度，比如一课一练，进行针对性的练习，也就是适量地刷题。
对于校内数学过关，希望更进一步的孩子，建议家长能够让孩子接触更多真正的现代数学，给他们更多的时间去独立思考而不是反复刷熟练度，不但要会用方法解题，还要保持一颗始终好奇的心，善问为什么，不断自己努力探究方法背后的原理，让他们多感受一些数学的严谨与背后的逻辑。
最后，
推荐一本值得三、四年级孩子在家长指导下阅读的书籍《万物皆数》米卡埃尔·洛奈
推荐一本适合三、四年级孩子的绘本《无穷的画廊》施瓦茨
推荐一本适合家长阅读的书籍《数学家讲解小学数学》武鸿熙
我不是机构老板，不是机构老师，不是机构员工，也不是个人教师，更不是书商——没有任何利益牵扯。
我家孩子从小没有去任何商业机构或者个人学堂学习（艺术、体育除外）——传说中的在家自鸡（自嗨）。
我不是教育专家，也不是数学家或者数学教师。
如有冒犯，欢迎通过法律途径解决。
如有错漏，请大家善意讨论并指出，我会有则改之，无则无视。
更新结束，谢谢观看。
本帖最后由 28430789 于 2020-6-24 14:55 编辑
讲得不错
大部分家长没有这种觉悟
不过我感觉lz犯了一个概念性的错误
数学应该不属于自然科学
本帖最后由 老吴88888 于 2020-6-24 14:43 编辑
孩子只基本学完了高思导引的三上，三下以后准备跳跃着来了，先巩固四年级以后的校内内容（含初中），学的过程中穿插着学习后面的高思课本内容，暂时是这么考虑的。
楼主辛苦，对数学的见地也很到位，论坛上需要这样的文章。
其实三年级以前的奥数基本就是兴趣题，难点的兴趣题，为了解兴趣题去搞套路的确不太对。
三年级前我奥数课常常去听，因为不听我也不会阿，不懂套路
四年级以后的，基本回到正常的数学节奏上来了。
如果楼主说的不可言说的教材不是乒乓的杰作，我会给楼主加分的:lol 这是一个学有余力的问题，以及悟性，兴趣点多方结合考虑的问题 下午有空，看完了楼主的4篇，总的观点我也认可。只是……因为这些想法我以前也有，系统啊，逻辑啊，给娃由点到面再回到点啊。九年数学的思维导图我也整理过，当时娃对她即将要学习的这么一个庞大的系统非常感兴趣，很是兴致勃勃了一段时间。然而呢，落到最后最大的门槛还就是在做题——从自己看到做题到讲解到订正，都牵扯了很多的时间精力。
当然，我做了这么多功课，好处还是有的——可以在各大群里吹牛:lol 28430789 发表于 2020-6-24 14:41
讲得不错
大部分家长没有这种觉悟
接受批评，已经改正 西瓜嘿嘿 发表于 2020-6-24 15:04
其实三年级以前的奥数基本就是兴趣题，难点的兴趣题，为了解兴趣题去搞套路的确不太对。
三年级前我奥数 ...
乒乓的教材我没有看过，但是我个人比较认同他系统学习数学的说法，但是教什么、怎么教我不清楚，所以不妄下判断。
我说的不可言说的教材，是我们大部分的校内教材和各种教辅性质的教材，要么过于追求根据现象归纳（新教材），要么过于强调技巧（老教材），而忽视了基本逻辑和原理解释。
S.HOO 发表于 2020-6-24 15:38
下午有空，看完了楼主的4篇，总的观点我也认可。只是……因为这些想法我以前也有，系统啊，逻辑啊，给娃由 ...
我基本都是把答案撕掉或者封掉。
对于有思路但是做错的题目，只批对错，让他自己订正并且自己找到之前出错的原因。
对于没有思路的题目（很少），关键地方点一点，然后让他继续自己思考去。 乖墩檬乖 发表于 2020-6-24 16:00
乒乓的教材我没有看过，但是我个人比较认同他系统学习数学的说法，但是教什么、怎么教我不清楚，所以不妄 ...
我觉得现在教材都有基本逻辑和原理的探究，可惜小孩子大部分都听不懂理解不了 和LZ做法几乎一摸一样
放弃机构在家自鸡
我自己看《数学家讲解小学数学》
娃用高思课本和导引
三年级导引结束后逐步在学有理数和分数计算
不主张灌输知识点和大量刷题，而是选择性的做一些题目，希望孩子能逐步养成独立思考的习惯
小学时间很多，完全没有必要按机构节奏紧赶慢赶刷进度(现在有些机构四年级就把高思六年级学完了)
数学是思维的游戏，不是机械训练
摩拜。感觉说得好有道理，慢慢看 写的很好 低龄娃家长来学习 推荐楼主读Keith devlin的书，有中译本。 Bud 发表于 2020-6-24 23:39
推荐楼主读Keith devlin的书，有中译本。
谢谢推荐，之前只有大略地看过一下他的数学思维导论，其他的我再去找找。:) 对普娃来说，其实还是要提高各种能力，而智商高的孩子天生就是各种能力优于普通孩子。普娃能力的提高需要长期系统地坚持，这点很难做到。 类似的思路，准备以后在家自己弄
我把摩比大班、高思一年级、举一反三一年级等书横向对比过，同一专题，每本书讲解的深度和题目的难度都不同。根据孩子接受情况决定引导到什么程度，比如排列组合，从最简单的枚举、按照一定规律的分步计数、引入乘法原理，这些都是低年级奥数的内容，难一些的题目又需要数列计算，对于幼儿园和低年级孩子其实足够了，但是往下引导，就要以此为基础引申出接A和C公式是怎么来的，推导，计算、使用。个人感觉，所谓的奥数，其实是古代数学和几何，在没有高级方程等数学工具的情况下，依靠思维逻辑和运算技巧来解决问题，随着问题复杂度和难度增加，人们慢慢研究出各种方程和公式，拓展到相应的现代数学，以至于后面的高等数学，用系统思路去学奥数，客观上走完了数学的演变发展过程，可以更好的理解最最基础的原理和某些公式的前世今生，然后再进入高等数学，其实是有利于数学的学习。
个人很不赞成，一味反对奥数，推崇高等数学，认为是奥数只是大脑杂技，只有代数才是正道，遇到任何题目，都不用脑子想想，就直接列方程，来降维打击，这本身就是盲目追求结果的投机行为。 Paradox 发表于 2020-6-25 07:52
类似的思路，准备以后在家自己弄
我把摩比大班、高思一年级、举一反三一年级等书横向对比过，同一专题，每 ...
追求系统学
并不是用方程解决奥数
小奥中，80%以上的题目是用不了方程的 乖墩檬乖 发表于 2020-06-25 00:33
谢谢推荐，之前只有大略地看过一下他的数学思维导论，其他的我再去找找。
一直好奇多大的孩子可以读他的书。 谢谢了 学习 高思课本和导引的使用，建议课本到4年级结束、导引到3年级结束后，先停一停，适当地引入代数的初步知识，花点时间把数系（一直到实数）、分数运算、一次方程（组）和一次不等式(组)以及函数的基础知识完成之后，再开始高思课本的5年级和导引的4年级，在系统性上可能更合适一些。
Reread. Devlin的书抽象，但是也没有那么难。 mark，反复来看看提醒自己 值得反复读。 谢谢楼主分享 谢谢楼主分享，请问高思竞赛数学课本提前学习以后，是先接四年级高思课本，还是先开始三年级导引，谢谢。 jedsong 发表于 2020-12-07 13:31
谢谢楼主分享，请问高思竞赛数学课本提前学习以后，是先接四年级高思课本，还是先开始三年级导引，谢谢。
先四年级课本，再三年级导引 谢谢楼主分享 感谢楼主金玉良言！辛苦辛苦 谢谢楼主详细的分享，少走很多弯路
谢谢楼主详细的分享，少走很多弯路 四篇看完，真是好文，个人感觉楼主讲得比付云皓那篇还要系统清晰。 深海领域 发表于 2021-4-1 12:11
四篇看完，真是好文，个人感觉楼主讲得比付云皓那篇还要系统清晰。
付云皓的长文也很好。 真不错！！！！ 好文，值得反复看 没看过高思，学习了那些内容还要回来学高思5吗，不如就把初中弄完算了吧
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