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[初中数学] 请教:一道预初不等式的题目

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发表于 2024-4-26 10:15 | 显示全部楼层 |阅读模式 来自: 中国上海
本帖最后由 go419hcl 于 2024-4-26 10:30 编辑

请教:已知 5/7<a/b<3/4 ,求当b最小时,a+b的值,这一题要如何解?

奥精上有个类似的题目,但答案给得太简单,没有明白。
发表于 2024-4-26 11:26 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
答案19,字数字数
发表于 2024-4-26 11:39 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
是不是漏了ab都是整数?用整数的连续性求解。
 楼主| 发表于 2024-4-26 13:23 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
ctcnancy 发表于 2024-4-26 11:39
是不是漏了ab都是整数?用整数的连续性求解。

对,ab都是整数
 楼主| 发表于 2024-4-26 13:24 | 显示全部楼层 来自: 中国上海

8/11, 结果应该是对的,计算过程应该怎么推导?
发表于 2024-4-26 13:27 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
小朋友说参考这个就能懂:a/b<(a+c)/(b+d)< c/d   (b & d & b+d 都不等于0)
 楼主| 发表于 2024-4-26 14:09 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
Cindy1234567 发表于 2024-4-26 13:27
小朋友说参考这个就能懂:a/b

明白了,多谢解答。
嗯,第一次可以证明(a+c)/(b+d)>a/b ,以后记住这个结论就行了。
发表于 2024-4-26 15:13 | 显示全部楼层 来自: 亚太地区
是不是只能是正数?
发表于 2024-4-26 20:55 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
通分,20/28<a/b<21/28,20和21之间没有整数,继续通分,40/56<a/b<42/56, 所以a=41,b=56且这时b最小
发表于 2024-4-26 23:27 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
好像有道理,但答案为什么不是 8/11
发表于 2024-4-27 10:19 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
本帖最后由 ctcnancy 于 2024-4-27 10:21 编辑

娃的解答,供参考

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发表于 2024-4-27 10:43 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
ctcnancy 发表于 2024-04-27 10:19
本帖最后由 ctcnancy 于 2024-4-27 10:21 编辑

娃的解答,供参考

完美~~~~
 楼主| 发表于 2024-4-27 15:55 | 显示全部楼层 来自: 中国上海

这个答案不正确。
 楼主| 发表于 2024-4-27 16:02 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
Cindy1234567 发表于 2024-4-26 13:27
小朋友说参考这个就能懂:a/b

用这种方法做奥精C的一题,好像不能得出正确答案:
已知p、q都是正整数,且7/10<p/q<11/15,当q最小时,pq的值为多少?
 楼主| 发表于 2024-4-27 16:09 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
ctcnancy 发表于 2024-4-27 10:19
娃的解答,供参考

完美,这个思路非常棒,奥精那道题目也能解决。
 楼主| 发表于 2024-4-27 16:20 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
go419hcl 发表于 2024-4-27 16:09
完美,这个思路非常棒,奥精那道题目也能解决。

好像不对,用这种方法做奥精C的那道题,得出q最小值为5,也不是正确答案。。。
发表于 2024-4-27 18:24 来自手机浏览器 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
go419hcl 发表于 2024-04-27 16:20
好像不对,用这种方法做奥精C的那道题,得出q最小值为5,也不是正确答案。。。

p/q是5/7吗
 楼主| 发表于 2024-4-28 09:16 | 显示全部楼层 来自: 中国上海

是的,是5/7
发表于 2024-4-28 17:45 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
go419hcl 发表于 2024-4-27 16:02
用这种方法做奥精C的一题,好像不能得出正确答案:
已知p、q都是正整数,且7/10

小朋友说5/7, 他说凭数感做的。。。。
 楼主| 发表于 2024-4-28 17:59 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
Cindy1234567 发表于 2024-4-28 17:45
小朋友说5/7, 他说凭数感做的。。。。

答案是对的,但希望知道解题思路,毕竟数学不是英语。
发表于 2024-4-29 22:42 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
如果a/b<e/f< c/d,求最小的e,f
令bc-ad=k,
可以证明 e>=(a+c)/k
f>=(b+d)/k
特别情况 bc-ad=1
那么e=a+c,f=b+d

5/7<a/b<3/4 ,求当b最小时,a+b的值,
3*7-4*5=1,因此a=8 b=11

已知p、q都是正整数,且7/10<p/q<11/15,当q最小时,pq的值为多少
10*11-7*15=5  那么q>=25/5=5,q=5,6没有满足要求的数p q=7 p=5满足要求
从p的角度看 p>=18/5,p=4没有满足要求的q p=5,q=7满足要求
 楼主| 发表于 2024-4-30 09:47 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
jdmath 发表于 2024-4-29 22:42
如果a/b=(a+c)/k
f>=(b+d)/k
特别情况 bc-ad=1

非常感谢!思路很棒,不过我还是有个问题,这个最后就变成枚举了,在数字非常小的情况下容易得出答案,但当数字非常大的时候如何得到答案呢?
举个例子,我们把左右两边的直线斜率无限接近,比如左边分子分母同乘以38,再分别+11和15,右边也变成和它斜率接近的直线。已知p、q都是正整数,且277/395<p/q<137/195,求当q最小时,p、q的值。
137*395-277*195=100 , 那么q>=590/100=5.9, 然后从q=6 开始进行枚举,感觉也很难获得正确答案。。。
发表于 2024-4-30 14:24 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
数字大的话,需要用到连分数展开
277/395的连分数展开=[0,1,2,2,1,7,5]
137/195的连分数展开=[0,1,2,2,1,3,5]
由于两个分数的数值比较接近 连分数展开前几位应该相同,3和7不同,
分母最小时第一个不同的值取4 [0,1,2,2,1,4]=33/47
https://baike.baidu.com/item/%E8%BF%9E%E5%88%86%E6%95%B0/2715871

数字小的时候用连分数就不合算
 楼主| 发表于 2024-4-30 16:17 | 显示全部楼层 来自: 中国上海
jdmath 发表于 2024-4-30 14:24
数字大的话,需要用到连分数展开
277/395的连分数展开=[0,1,2,2,1,7,5]
137/195的连分数展开=[0,1,2,2,1, ...

太厉害了!
虽然连分数已经超出了我的认知范围,但只要确定在两个分数非常接近的时候,并不需要用枚举法,就能解答我的疑问了。非常感谢!!!
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