幼儿数学启蒙的两条路径（已更新）
本帖最后由 whitestone_wu 于 2017-4-6 01:07 编辑一、一碗蛋炒饭，最简单也最难
教学和学习是两种不同的过程，自己会不等于能教别人，教孩子一滴水自己要有一杯水甚至一缸水。那么可能有人会说，如果把学前阶段识数、自然数四则运算当成一滴水，几乎所有家长都有一缸水。其实幼儿启蒙涉及到人类认知的根本性问题，科学界都有各种争论，恰恰是最难的部分。
二、你知道你在教孩子什么吗。也许你以为给了他一只鸡其实是给了一只鸭。
为了避免大量抽象论证让读者直接弃楼，我先直接讲实践。
拿识数来说，你知道什么是数吗？自然数包含有两方面的概念，一个是数量概念，一个是序数概念。数量概念就是指物的多少，比如一个果盘里有多少苹果。序数概念指的是一个事物的先后次序。比如小朋友排队玩滑滑梯，队伍最前面就是第一个，后面是第二个，再后面第三个，以此类推。
那么同样是启蒙幼儿识数，应该先用哪个概念？恐怕大部分家长会说，当然应该是数量概念，这是最基础的。序数概念太抽象了。我们来看看我们具体是怎么教的。
第一种方法:拿出一个苹果，告诉小朋友这是一个苹果；再拿出两个苹果，告诉小朋友这是两个；以此类推，直到教满五个数或者十个数。然后为了加深印象，下一次可以用另外一种东西来教，比如糖果。
有没有家长用这种方法？恐怕是极少的，而且我也不认为这个方法是有效率的方法。但是这才是直接教孩子数量关系，一开始就把数和物的数量联系起来。
第二种方法:先教孩子数数。家长平时利用一些机会数数给孩子听，可能大部分是数到十。然后让孩子模仿，通常来说，很快孩子就能从一数到十了。有的可能还给孩子认阿拉伯数字，1-10都能读出正确读音。
这种方法可能是很多家长采取的，虽然具体操作起来有所不同。这种方法实质上是灌输数的序数概念。对幼儿来说，他们接收到的是一堆有先后次序的语音符号，一后面是二，二后面是三，一直到十。这就是序数，并不对应任何实物。
有趣的是，如果你不是教孩子数数，而是教孩子背字母表，达到的是几乎一样的效果。比如教ABC一直到K，也是十个有先后次序的符号。从逻辑上说，这也是序数。
教字母结果教的却是数学。是不是觉得有点抽象，但是这个更容易灌输给孩子，所以并不是抽象的东西就难学。
三、两条腿走路为啥要问先迈哪条腿
看到这里，很多家长要说了，哪有这么机械的。两种方法并不矛盾好吧，可以一起用。确实，教数数很容易，但是很多家长一早就认识到光会眼睛看天数数不行。于是家长们往往在孩子刚会从一数到十，就会让他们去数实物。似乎这样就把序数概念和数量概念有机结合起来了。
那么我在上面做的区分是不是就好像在做先迈哪条腿的假学问呢？当然不是，数的两个概念必须引起重视，特别如此鸡血环境下的启蒙阶段，不然等你发现的时候，孩子已经跛脚了。
比如数苹果的时候，你是不是始终用固定的次序？如果孩子熟练了之后，你从左到右数变成从右到左数，他是不是会发愣呢？如果你始终用固定的顺序在数实物，在孩子看来，就不是一只苹果两只苹果……，而是第一只苹果第二只苹果……，虽然你没有这么说，但是所建立的仍然是序数概念而不是数量概念。如果本来第三只数到的苹果变成第七只，就会引起困惑，孩子有时会固执地把左边第三只苹果数成三，尽管从右边数起应该是七。很多家长应该有相关经验，如果用的是图画而非实物，尤其如此，因为在图画上，苹果的位置被牢牢固定，不可更改。
四、学数学也是在建立条件反射
也许上面的叙述会让读者形成这样的印象:这个作者是在提醒家长数学启蒙时要警惕只教序数概念，要结合实物教数量概念，虽然很啰嗦，但有一点道理，可以引起注意。其实我想说的如果延伸到四则运算，结论有时是反过来的。
教加法往往用这样的方法，比如四个苹果可以拆成一个和三个、两个和两个、三个和一个。所以对应三个加法算式，都得出四这个数。这样就让孩子明白了加法的原理，接下来就是机械地刷熟练度了，也就是建立条件反射。
其实上面的原理是数量关系。有没有想过加法也有序数关系？比如一个数加一，其实就是求序数概念中，这个数后面那个数。一个数加二，就是求序数概念中，这个数后面再后面那个数。加三，是求这个数后面再后面再后面那个数。可能读者注意到我宁愿多打几个“后面”，以避免把数量关系牵扯进来。
所以，如果用序数概念学加法，只要能熟练数数，就可以学会了，知道一后面是二，就知道一加一是二。二后面是三，就知道二加一是三。这样学有什么好处呢？好处在于，只教加法的数量概念，以后刷熟练度就不再使用这个数量概念了，两者是脱节的。如果教了序数概念中的加法，那么刷熟练度时，也可以继续使用序数概念，懂原理和刷熟练两者始终紧密结合，原理学得更扎实，熟练度刷得不机械。
熟练度刷得不机械这一点尤其重要，因为这种刷题是建立在逻辑基础上而不全是条件反射上。更有利于以后的举一反三。请注意我说的“不全是”，条件反射也是需要的。
五、学乘法=背乘法表？
如果一个学前孩子或者低年级孩子已经会运用乘法，我们可能就会认为他应该能背乘法表了。有的时候成人自己也似乎忘却了乘法的基本原理，只剩下条件反射，以至于除了乘法表不知道如何教乘法，特别是如何跟数量概念对应起来。比如5*5，是要教5+5+5+5+5吗？
其实乘法的含义相当丰富，如果对乘法要讲什么原理，有一条是不论那种乘法的含义，都囊括在内的，就是用乘号连接起来的两个数甚至更多数，他们是不同的参数或者量纲（单位）不同。这很重要，小学低年级特别会强调被乘数和乘数的次序，因为这两个数是不能随意颠倒次序的。
5*5就是5+5+5+5+5，乘法算式中前一个5表示加法算式中的5本身，后一个5表示加法运算的次数。两个5的含义不同。一般我们不会用这样的例子来说明乘法的原理。我建议的方法是用阵列，还是苹果好了，比如5*6，一排苹果有5个，一共有6排，5是被乘数，单位是个，6是乘数，单位是排，必须不可颠倒。那么如果要用交换率怎么办，那就要换个角度看问题，看成一列苹果有6个，一共有5列，6是被乘数，单位是个，5是乘数，单位是列。
然而阵列只是乘法含义的显现方式之一，而且是比较数学的方式。其他还有几何的方式，比如求面积求体积。物理中体现乘法含义的就更多了，比如路程公式、欧姆定律等等。但是共同之处都是几个不同的参数或者量纲不同的数相乘。但是我最想提到的不是这些，而是小学奥数中的重要板块——乘法原理。有些孩子总是分不清啥时候用加法原理啥时候用乘法原理，很大程度上就是因为没有搞清乘法的内涵。
但是这些内涵不是那么容易搞清楚的，我真心建议家长给孩子留一些自己思考和理解的空间，因为这些空间是有可塑性和可扩展性的。小学要学奥数有乘法原理，初中要深入学平面几何又是各种乘法公式，以后高中要接触矢量的乘法，到大学还要学行列式乘法，乘法何其多何其丰富，千万别过早框死了。如果孩子对数学有更多自己的理解，越学就发现数学的天地之广阔，而不是只学到一堆奇怪的概念和计算公式。
如何给孩子留下自己思考和理解的空间？一言以蔽之，不要过早灌输给他们当时无法理解的技巧、公式，要教也教笨办法，越笨越好。聪明办法，让他们自己去学（比如依靠教材），最好能自己悟吧。
六、从实践到理论，从理论回到实践
其实我这篇东西主要想要讲的是理论。并不是如何教孩子的理论（每一个孩子都是独一无二的，每一个家长也是独一无二的，不存在可以普遍适用的教学理论），而是家长正确理解自己教学内容的理论。为了避免枯燥，前面讲了比较多实践上的内容，现在来点理论内容吧。
前面讲到了数的两种概念，一个是数量概念（或者说基数），一个是序数概念。这在认识论上，分别对应了人的两种直观形式，空间和时间。所谓直观形式，就是不需要也无法进一步分解，只能靠悟也应该能悟的东西。拿出三个苹果，来帮助认识三这个数，就是利用了空间的直观形式，因为在一个局部空间中同时出现了一定数量的事物。报出一二三，三个数，就是利用了时间的直观形式，因为你报数的时候有先后次序。
空间的直观形式更加依靠外物，依靠对周围事物的理解。幼儿用眼睛看用手抚摸甚至用耳朵听，就会发现这个世界中事物是有广袤的（即占据一定空间）。而时间的直观形式，更多是人内心的感受，一个人哪怕闭起眼睛捂起耳朵，也会感受到时间在流逝。而数学，其实就是这两种直观形式中产生出来的，这是数学两个同等重要的方面。前者用于把世界映照进内心，后者用于把已经被映照进内心的世界重新抽象和组织。
说到这里又要举一个实践中的例子。有的孩子做试卷上纯数字符号的数学运算很熟练，但是如果让他做一个日常生活中的题，用的运算比他试卷上的还简单，但是他却做不出来。套用前面的理论，一方面他缺乏把日常生活映照进内心的能力，一方面他恐怕也缺乏将它们抽象和组织的能力。特别要指出，刷纯数字符号运算，既不是认知世界，也不是练习抽象和逻辑，练的只是条件反射。认知世界不谈了，练习抽象和逻辑是要思考的，刷纯数字符号运算，往往不需要思考。但是我并不是说刷熟练度没用，只是要建立在充分理解的基础上，保持对认知世界和抽象逻辑的练习。
这里回应一下有一些回复说孩子开窍晚，学得慢。开窍晚真不一定是坏事，有的时候是孩子保持着对世界的好奇心，保持着自己独立的抽象和逻辑思考能力，你教他的方法，他不理解，于是本能地抗拒机械套用，表面看起来像是学不会。
最后再回到实践推荐一个学加法的方法。前面不是说到时间的直观形式，而且这是每个人都必然拥有的领悟能力么。加法学得慢的，认识钟上的时间吗？六点零五分，再过五分钟，是什么时间，有没有试过这样教呢？有的时候让孩子看着钟，看着时间流逝，看着秒针甚至分针一点一点从一个位置走到下一个位置，不见得是浪费时间。也许突然就领悟啥叫进位了呢。当然只是推荐一个方法，不见得每个孩子都适用。 LZ，从左往右数和从右往左数，外加上下的位置关系我家都能搞懂。
加减法我都是用尺来教，然而娃还是不会啊…… 哈哈，这种就属于“道理我都懂，娃不开窍怎么办啊” 圆圆圈圈 发表于 2017-4-5 15:53
LZ，从左往右数和从右往左数，外加上下的位置关系我家都能搞懂。
加减法我都是用尺来教，然而娃还是不会啊 ...
圈大，后来找到好方法教加减了吗，求教:lol
我们感觉做思维题一般的没什么难度，但就加减有问题，这是没开窍吗
我真的是采用了很多方法，感觉然并…… 路过学习了 我爱唐诗三百 发表于 2017-4-5 17:31
圈大，后来找到好方法教加减了吗，求教
我们感觉做思维题一般的没什么难度，但就加减有问题，这是 ...
并没有，只能苦等。当然，如果不要求速度，在大人鼓励下，20以内加减法还是能做出来的。用的是论坛里哪位家长的记数法。 额。。。教具实操被写的如此复杂，蒙式启蒙情何以堪。。。
楼主写的内容只是浅显的
圆圆圈圈 发表于 2017-4-5 19:08
并没有，只能苦等。当然，如果不要求速度，在大人鼓励下，20以内加减法还是能做出来的。用的是论坛里哪位 ...
谢版主赏分。你孩子多大啊？只要能做出来，那就只是熟练度的问题了。 会认钟的孩子加法早就会了http://www.qianfanedu.cn//mobcent//app/data/phiz/default/20.png难道不是先会加法才识钟的嘛
路过点赞
哇哦 太赞 让我鸡娃避免踩雷
鸡娃路漫漫啊;P 路过学习
来学习了。 认真看完，很有收获 xiaolittle 发表于 2017-4-6 07:28
会认钟的孩子加法早就会了难道不是先会加法才识钟的嘛
2岁的孩子就可以认钟了？3岁肯定可以认了？然而我家4岁多了还是教不会认钟。认钟不只有加法，还有乘法概念，确定3岁就可以掌握？毕竟大多数钟面数字都是1-12吧，你要怎么给2-3岁孩子解释多少分钟？整点半点死记硬背勉强可以记住，估计也理解不了。 很好哦http://www.qianfanedu.cn//mobcent//app/data/phiz/default/16.png
加减法还是个熟练度的问题吧，练到条件反射就好了:lol 最近正在反思中，怎样才是数学启蒙的正确的学习方法 分析很有道理，最近一直在琢磨到底如何开始给娃启蒙数学，楼主但是提供了很好的借鉴。
好好学习一下。 难道大家教加法不用算数棒吗？我家娃就是从算数棒开始学加法，后来我会把1-10按照次序写在纸上，怕娃一时想不起来。刚开始的时候大概3岁不到吧。先分颜色，娃老开心的。不过我觉得真正让她知道或者说理解5以内的加法和减法还是3岁出头。最重要，娃从来都不排斥算数棒，虽然我们只是一段时间用一次。但是每次用完，觉得娃都有小进步。 算数棒推荐给小龄的家长 认真看完了，坚持不背乘法表这种无意义的事儿;P 云山雾绕:funk: 豁然开朗的感觉。现在我家（34个月半）对多少有感觉。（整齐排放的基础上10个纽扣和11个纽扣，哪个多哪个少，他知道）
但是让他数东西1.2.3.就会乱数。他应该还没有理解数字，顺序，数量之间的意义和连接。
孩子不理解，就会抗拒（捂耳朵不听我说）。
谢谢LZ。我要重新思考如何让孩子理解数字，顺序，数量。
写的很深刻啊~感觉有点哲学向。计划先学点数，能够把数字和实物联系起来。 mark 一下我看的自己都有点晕 好贴啊，学习了 路过学习了 路过点赞
我基本放弃了，让她自己学嘟嘟数学，自己领悟:Q 路过学习
学习。我们也是只爱做思维题，加减完全不开窍:L 学习了 提供了一种新的数学启蒙思路 刘明，慢慢看 路过 学习了
写的很好，MARK 写的太好了！
我家小班下的娃，数数熟练了，开始教加法，就发现他每次都要重头开始数。
我觉得就是楼主说的，基数和序数的概念没搞清，所以他虽然能用手指数出答案，实际不是在做加法，还是在数数。
所以现在开始训练他跳数、前后数。
然后入手了一堆数学绘本，希望能弥补数学渣渣妈妈说不清的那些基础概念！ 给力，看上去有点专业，转，让老公消化消化
圆圆圈圈 发表于 2017-4-5 15:53 static/image/common/back.gif
LZ，从左往右数和从右往左数，外加上下的位置关系我家都能搞懂。
加减法我都是用尺来教，然而娃还是不会啊 ...
用尺教怎么教？是打手心吗http://www.qianfanedu.cn//mobcent//app/data/phiz/default/33.png
piggyeah 发表于 2017-4-5 17:28 static/image/common/back.gif
哈哈，这种就属于“道理我都懂，娃不开窍怎么办啊”
哈哈哈 加1加1
ayao1_1 发表于 2018-5-2 08:48
用尺教怎么教？是打手心吗
尺子上不是有刻度么，左减右加。
然而最后还是靠时间会了。。 圆圆圈圈 发表于 2018-5-2 08:55 static/image/common/back.gif
尺子上不是有刻度么，左减右加。
然而最后还是靠时间会了。。
哦噢……原来如此。那认钟多大可以了？我们三岁半对钟很感兴趣老是问我几点了。还会胡邹现在几点了要干什么什么了。
ayao1_1 发表于 2018-5-2 09:13
哦噢……原来如此。那认钟多大可以了？我们三岁半对钟很感兴趣老是问我几点了。还会胡邹现在几点了要干什 ...
看天赋啊，反正到大班基本都会了。 圆圆圈圈 发表于 2018-5-2 09:16 static/image/common/back.gif
看天赋啊，反正到大班基本都会了。
http://www.qianfanedu.cn//mobcent//app/data/phiz/default/10.png谢版主
本帖最后由 blackberry2 于 2018-5-2 09:25 编辑
我家也是从头数，但是她对序数概念知道的呀，还会跟我说第几个第几个。。。
我不会教，就数数，然后数数实物这种。我们给她玩都是给实物，给卡片（卡片上画几个鸭子）或者手指头问几，所以五以内加减靠眼睛扫描，5以上靠数数。有一次她算到8了这种又拿了两只鸭子就说10 再拿2两只说12，再然后说14 没数数，我还蛮惊讶的 但是通常都是从头数。减法也告诉过她，给她两张不同数量鸭子的卡片，大减小，我不知道她怎么做的 ，盯着卡片看一会告诉我答案（仅限10以内）
乘法 除法的概念也是稍微启蒙，就是一家三个人 一人一个苹果要几个 两个要几个，感觉可以理解但是还是靠数数得到答案。除法也这么教的，一共7个 分给三个娃，一人分几个 多还是少之类的。。。
我有点不知道怎么继续下去了。小班，不想刷题，但是估计不能进行下去，因为其实还是算不清楚。。。
我们数数都不行，数到一百，比如59.69之后不知道是几了。
大神指教下我们是鸡血刷数感还是咋地。。。还是天天这么玩玩。。。:'(:'(:'(:'(
blackberry2 发表于 2018-5-2 09:24 static/image/common/back.gif
我家也是从头数，但是她对序数概念知道的呀，还会跟我说第几个第几个。。。
我不会教，就数数，然后数数实 ...
我主题的意思是抽象和现实要兼顾，并不是说某一方面不重要。
如果孩子已经自己有一定领悟了，那么你可以尝试教一下算式，目的是为了让她把自己的领悟跟抽象算式结合起来，不要刷题。至少小班不要。如果学起来很轻松，也可以继续教更深入的，比如多位数加减法。
启蒙教的东西简单却不容易教！写得很好，收藏学习了。 whitestone_wu 发表于 2018-5-2 09:48
我主题的意思是抽象和现实要兼顾，并不是说某一方面不重要。
如果孩子已经自己有一定领悟了，那么你可以 ...
写式子给她练练？这下一步不就要刷题了嘛。。。算式也会的就是算的慢，因为要数手指头或者棒子
两位加两位估计完全蒙逼，感觉她基础并不扎实:dizzy:
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